FORMULARZE SPECYFIKACJI PRAWA ROZDZIAŁU DLA CIĄGŁYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH

FORMY USTALANIA PRAWA ROZKŁADU DYSKRETNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH

1). Tabela rozkładu (wiersz) - najprostsza forma określenia prawa rozkładu dyskretnych zmiennych losowych.

Ponieważ tabela zawiera listę wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej.

2). Wielokąt dystrybucji . Podczas graficznego przedstawiania serii rozkładów w prostokątnym układzie współrzędnych wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a odpowiednie prawdopodobieństwa są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych. Następnie punkty są rysowane i łączone odcinkami prostymi. Powstała figura – wielokąt rozkładu – jest jednocześnie formą określenia prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej.

3). Funkcja dystrybucyjna - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż pewne dane x, tj.

.

Z geometrycznego punktu widzenia można to uznać za prawdopodobieństwo trafienia w losowy punkt X do odcinka osi liczb znajdującego się na lewo od stałego punktu X.

2) ; ;

Zadanie 2.1. Losowa wartość X- liczba trafień w tarczę przy 3 strzałach (patrz zadanie 1.5). Zbuduj szereg dystrybucyjny, wielokąt rozkładu, oblicz wartości funkcji rozkładu i skonstruuj jej wykres.

Rozwiązanie:

1) Szereg rozkładowy zmiennej losowej X przedstawione w tabeli

Na	,
Na	,
Na	,
Na
Na	.

Wykreślanie wartości na osi odciętych X, i wzdłuż osi rzędnych - wartości i wybierając określoną skalę, otrzymujemy wykres funkcji rozkładu (ryc. 2.2). Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej ma skoki (nieciągłości) w tych punktach, w których zmienna losowa X przyjmuje określone wartości określone w tabeli rozkładu. Suma wszystkich skoków w funkcji rozkładu jest równa jeden.

Ryż. 2.2 - Dystrybucja wartości dyskretnej

1). Funkcja dystrybucyjna .

Dla ciągłej zmiennej losowej wykres funkcji rozkładu (ryc. 2.3) ma kształt gładkiej krzywej.

Własności funkcji rozkładu:

c) jeśli .

Ryż. 2.3 - Dystrybucja wartości ciągłej

2). Gęstość dystrybucji zdefiniowana jako pochodna funkcji rozkładu, tj.

.

Krzywa przedstawiająca gęstość rozkładu zmiennej losowej, zwany krzywa dystrybucji (ryc. 2.4).

Właściwości gęstości:

i tych. gęstość jest funkcją nieujemną;

b), tj. obszar ograniczony krzywa dystrybucji a oś x jest zawsze równa 1.

Jeśli wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X zakres od A zanim B, to druga właściwość gęstości będzie miała postać:

Ryż. 2.4 - Krzywa rozkładu

W praktyce często konieczne jest poznanie prawdopodobieństwa wystąpienia zmiennej losowej X przyjmie wartość z pewnego zakresu, na przykład od a do b. Wymagane prawdopodobieństwo dla Dyskretna zmienna losowa X określone przez formułę

ponieważ prawdopodobieństwo dowolnej indywidualnej wartości ciągłej zmiennej losowej wynosi zero: .

Prawdopodobieństwo trafienia ciągłej zmiennej losowej X do przedziału (a,b) określa się także za pomocą wyrażenia:

Problem 2.3. Losowa wartość X dane przez funkcję dystrybucji

Znajdź gęstość i prawdopodobieństwo, że wynik testu jest zmienną losową X przyjmie wartość zawartą w przedziale.

Rozwiązanie:

2. Prawdopodobieństwo trafienia zmiennej losowej X w przedziale określa się według wzoru. Biorąc i , znajdujemy

Znajdźmy dystrybuantę zmiennej losowej X, z zastrzeżeniem prawa dystrybucji normalnej:

Zmieńmy całkę i sprowadźmy ją do postaci:

.

Całka nie jest wyrażany za pomocą funkcji elementarnych, ale można go obliczyć za pomocą specjalnej funkcji wyrażającej całkę oznaczoną z wyrażenia lub . Wyraźmy funkcję poprzez funkcję Laplace'a Ф(х):

.

Prawdopodobieństwo wpadnięcia zmiennej losowej X do obszaru (α, β) wyraża się wzorem:

.

Korzystając z ostatniego wzoru, możesz oszacować prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa odbiega od swoich matematycznych oczekiwań o z góry określoną dowolnie małą wartość dodatnią ε:

.

Niech , następnie i . Na T=3 otrzymujemy, tj. praktycznie pewne jest, że odchylenie zmiennej losowej o rozkładzie normalnym od oczekiwań matematycznych będzie mniejsze.

To jest reguła trzech sigm: jeśli zmienna losowa ma rozkład normalny, wówczas wartość bezwzględna odchylenia jej wartości od oczekiwań matematycznych nie przekracza trzykrotności odchylenia standardowego.

Zadanie. Niech średnica części wyprodukowanej przez warsztat będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym, m = 4,5 cm, cm Znajdź prawdopodobieństwo, że średnica losowo wybranej części różni się od jej oczekiwań matematycznych o nie więcej niż 1 mm.

Rozwiązanie. Problem ten charakteryzuje się następującymi wartościami parametrów określających pożądane prawdopodobieństwo: , , F(0,2)=0,0793,

Pytania kontrolne

1. Jaki rozkład prawdopodobieństwa nazywa się równomiernym?

2. Jaka jest postać rozkładu zmiennej losowej równomiernie rozłożonej na przedziale [ A; B]?

3. Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej o równomiernym rozkładzie mieszczą się w zadanym przedziale?

4. Jak wyznacza się rozkład wykładniczy zmiennej losowej?

5. Jaką postać ma rozkład zmiennej losowej rozłożonej zgodnie z prawem wykładniczym?

6. Jaki rozkład prawdopodobieństwa nazywamy normalnym?

7. Jakie właściwości ma gęstość rozkładu normalnego? Jak parametry rozkładu normalnego wpływają na wygląd wykresu gęstości rozkładu normalnego?

8. Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym mieszczą się w zadanym przedziale?

9. Jak obliczyć prawdopodobieństwo odchylenia wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym od jej oczekiwań matematycznych?

10. Sformułować regułę „trzech sigma”?

11. Jakie są matematyczne oczekiwania, rozproszenie i odchylenie standardowe zmiennej losowej rozłożonej według jednolitego prawa na segmencie [ A; B]?

12. Jakie są matematyczne oczekiwania, wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ?

13. Jakie są matematyczne oczekiwania, wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej rozłożonej zgodnie z prawem normalnym z parametrami M I ?

Zadania testowe

1. Zmienna losowa X rozłożone równomiernie na przedziale [-3, 5]. Znajdź gęstość rozkładu i funkcję rozkładu X. Utwórz wykresy obu funkcji. Znajdź prawdopodobieństwa i . Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe X.

2. Autobusy linii nr 21 kursują regularnie co 10 minut. Pasażer wysiada na przystanku w losowym momencie. Rozważ zmienną losową X− czas oczekiwania pasażera na autobus (w minutach). Znajdź gęstość rozkładu i funkcję rozkładu X. Utwórz wykresy obu funkcji. Znajdź prawdopodobieństwo, że pasażer będzie musiał czekać na autobus nie dłużej niż pięć minut. Znajdź średni czas oczekiwania na autobus i wariancję czasu oczekiwania na autobus.

3. Ustalono, że czas naprawy magnetowidu (w dniach) jest zmienną losową X, rozłożone zgodnie z prawem wykładniczym. Średni czas naprawy magnetowidu wynosi 10 dni. Znajdź gęstość rozkładu i funkcję rozkładu X. Utwórz wykresy obu funkcji. Znajdź prawdopodobieństwo, że naprawa magnetowidu zajmie co najmniej 11 dni.

4. Rysować wykresy gęstości i rozkłady zmiennej losowej X, rozłożone zgodnie z prawem normalnym z parametrami M= = - 2 i = 0,2.

Prawdopodobieństwo znalezienia się w danym przedziale normalnej zmiennej losowej

Wiadomo już, że jeśli zmienną losową X dana jest gęstość rozkładu f(x), to prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału (a, b) jest następujące:

Niech zmienna losowa X będzie rozłożona zgodnie z prawem normalnym. Wtedy prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału (a, b) jest równe

Przekształćmy tę formułę, aby móc korzystać z gotowych tabel. Wprowadźmy nową zmienną z = (x--а)/--s. Stąd x = sz+a, dx = sdz. Znajdźmy nowe granice całkowania. Jeśli x= a, to z=(a-a)/--s; jeśli x = b, to z = (b-a)/--s.

Tak mamy

Korzystanie z funkcji Laplace'a

w końcu to dostaniemy

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia losowego

W partii 14 części znajdują się 2 części niestandardowe. Wybrano losowo 3 pozycje. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X – liczby części standardowych wśród wybranych. Znajdź charakterystykę liczbową, . Rozwiązanie jest oczywiste...

Badania wytrzymałości na rozciąganie pasków perkalu

Mówią...

Metody estymacji nieznanych parametrów rozkładu

Jeśli zmienna losowa X jest dana przez gęstość rozkładu, to prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału, jest następujące: Niech zmienna losowa X będzie miała rozkład normalny. Wtedy prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość...

Ciągła zmienna losowa

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa F(x) zmiennej losowej X w punkcie x to prawdopodobieństwo, że w wyniku eksperymentu zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od x, tj. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

Ciągłe zmienne losowe. Normalne prawo dystrybucji

Znając gęstość rozkładu, można obliczyć prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie wartość należącą do zadanego przedziału. Obliczenia opierają się na następującym twierdzeniu. Twierdzenie. Prawdopodobieństwo...

Ostateczne oczekiwanie matematyczne mx=5 Odchylenie standardowe yx=3 Liczebność próby n=335 Prawdopodobieństwo ufności r=0,95 Poziom istotności Liczba wybranych wartości N=13 Modelowanie zmiennej losowej...

Statyczne modelowanie systemów

Statyczne modelowanie systemów

3. Oszacowanie charakterystyk statystycznych procesu losowego.Problemy są ustalane według rozdziałów...

Statyczne modelowanie systemów

Rozkład: f(x)=b(3-x), b>0 Granice rozkładu 1

Statyczne modelowanie systemów

Co to jest zmienna losowa

teoria zmiennej losowej prawdopodobieństwo Omówione powyżej zasady rozkładu zmiennej losowej obowiązują tylko w odniesieniu do wielkości dyskretnych, ze względu na fakt...

Elementy teorii prawdopodobieństwa

Rozważmy problem istotny z punktu widzenia praktycznego zastosowania. Niech będzie ciągła zmienna losowa o gęstości rozkładu. Interesuje nas problem znalezienia gęstości rozkładu wielkości powiązanej zależnością:...

Ryż. 4. Gęstość rozkładu normalnego.

Przykład 6. Wyznaczenie charakterystyki liczbowej zmiennej losowej na podstawie jej gęstości rozpatrzono na przykładzie. Ciągła zmienna losowa jest dana przez gęstość

Określ rodzaj rozkładu, znajdź oczekiwanie matematyczne M(X) i wariancję D(X).

Rozwiązanie. Porównując daną gęstość rozkładu z (1.16) możemy stwierdzić, że dane jest prawo rozkładu normalnego z m=4. Dlatego oczekiwanie matematyczne

M(X)=4, wariancja D(X)=9.

Odchylenie standardowe σ =3.

Funkcja rozkładu normalnego (1.17) jest powiązana z funkcją Laplace'a, która ma postać:

relacja: Φ (− x) = −Φ (x). (Funkcja Laplace'a jest nieparzysta). Wartości funkcji f(x) i Ф(х) można obliczyć korzystając z tabeli.

Rozkład normalny ciągłej zmiennej losowej odgrywa ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa i opisie rzeczywistości, jest bardzo rozpowszechniony w losowych zjawiskach naturalnych. W praktyce bardzo często spotykamy się ze zmiennymi losowymi, które powstają właśnie w wyniku sumowania wielu wyrazów losowych. W szczególności analiza błędów pomiarowych pokazuje, że są one sumą błędów różnego rodzaju. Praktyka pokazuje, że rozkład prawdopodobieństwa błędów pomiaru jest zbliżony do prawa normalnego.

Korzystając z funkcji Laplace'a, można rozwiązać problem obliczenia prawdopodobieństwa wpadnięcia w zadany przedział i dane odchylenie normalnej zmiennej losowej.

3.4. Prawdopodobieństwo znalezienia się w danym przedziale normalnej zmiennej losowej

Jeżeli zmienną losową X dana jest gęstość rozkładu f(x), to prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do danego przedziału, oblicza się ze wzoru (1.9a). Podstawiając do wzoru (1.9a) wartość gęstości rozkładu z (1.16) dla rozkładu normalnego N(a, σ) i dokonując szeregu przekształceń, prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do danego przedziału będzie równe Do:

P. ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = Φ(x 2 σ - za )

gdzie: a jest oczekiwaniem matematycznym.

−Φ(	x1 - a

Przykład 7. Zmienna losowa X ma rozkład zgodny z prawem normalnym. Oczekiwanie matematyczne a=60, odchylenie standardowe σ=20. Znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X znajdzie się w zadanym przedziale (30;90).

Rozwiązanie. Pożądane prawdopodobieństwo oblicza się za pomocą wzoru (1.18).

Otrzymujemy: P(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

Według tabeli w dodatku 1: Ф(1,5) = 0,4332.. P(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X znajdzie się w zadanym przedziale (30; 90) wynosi: P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. Obliczanie prawdopodobieństwa danego odchylenia normalnej zmiennej losowej

Problematyka obliczania prawdopodobieństwa odchylenia normalnej zmiennej losowej od zadanej wartości wiąże się z różnego rodzaju błędami (pomiar, ważenie). Błędy różnego rodzaju są oznaczane zmienną ε.

Niech ε będzie odchyleniem zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym w wartości bezwzględnej. Należy znaleźć prawdopodobieństwo, że odchylenie zmiennej losowej X od oczekiwań matematycznych nie przekroczy zadanej wartości ε. Prawdopodobieństwo to zapisuje się jako: P(|X–a| ≤ ε ). Przyjmuje się, że we wzorze (1.18) odcinek [x1; x2 ] jest symetryczny względem oczekiwań matematycznych a. Zatem: a–х1 =ε; x2 –a =ε. Jeśli dodamy te wyrażenia, możemy zapisać: x2 – x1 =2ε. Granice przedziału [x1; x2 ] będzie wyglądać następująco:

x1 =a –ε; x2 = a + ε.

Wartości x1, x2 z (1.19) podstawia się w prawą stronę (1.18), a wyrażenie w nawiasach klamrowych przepisuje się w postaci dwóch nierówności:

1) x 1 ≤ X i zamień w nim x1 zgodnie z (1.19), okazuje się, że: a–ε ≤ X lub a–X ≤ ε.

2) X ≤ x 2, podobnie zamień x2, okazuje się: X ≤ a+ε lub X–a ≤ ε.

Przykład 8. Mierzona jest średnica części. Losowe błędy pomiaru przyjmowane są jako zmienna losowa X i podlegają prawu normalnemu z oczekiwaniem matematycznym a=0 i odchyleniem standardowym σ=1 mm. Znajdź prawdopodobieństwo, że pomiar zostanie wykonany z błędem nie większym niż 2 mm w wartości bezwzględnej.

Rozwiązanie. Dane: ε =2, σ =1mm, a=0.

Według wzoru (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

Prawdopodobieństwo, że pomiar zostanie wykonany z błędem nie większym niż 1 mm w wartości bezwzględnej wynosi:

P (|X| ≤ ε ) = 2 0,4772 = 0,9544.

Przykład 9. Zmienna losowa o rozkładzie normalnym o parametrach a=50 i σ=15. Znajdź prawdopodobieństwo, że odchylenie zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych - a będzie mniejsze niż 5, tj. P(|X–a|<5).

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę (1.18) będziemy mieli: P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

Wariancja normalnej zmiennej losowej.

Dyspersja zmienna losowa to matematyczne oczekiwanie kwadratu odpowiedniej wyśrodkowanej zmiennej losowej.

Charakteryzuje stopień rozproszenia wartości zmiennej losowej względem jej oczekiwań matematycznych, tj. szerokość zakresu wartości.

Wzory obliczeniowe:

Wariancję można obliczyć na podstawie drugiego momentu początkowego:

(6.10)

Rozproszenie zmiennej losowej charakteryzuje stopień rozproszenia (rozproszenia) wartości zmiennej losowej w stosunku do jej oczekiwań matematycznych. Wariancja SV (zarówno dyskretna, jak i ciągła) jest wielkością nielosową (stałą).

Wariancja zmiennej losowej ma wymiar kwadratu zmiennej losowej. Dla przejrzystości zastosowano charakterystykę dyspersji z wartością, której wymiar pokrywa się z wymiarem SV.

Odchylenie standardowe (RMS) NE X zwany charakterystycznym

. (6.11)

RMSD mierzone jest w tych samych jednostkach fizycznych co SV i charakteryzuje szerokość zakresu wartości SV.

Właściwości dyspersyjne

Wariancja wartości stałej Z równy zeru.

Dowód: z definicji wariancji

Po dodaniu do zmiennej losowej X wartość nielosowa Z jego rozproszenie nie ulega zmianie.

D[X+C] = D[X].

Dowód: z definicji wariancji

(6.12)

3. Podczas mnożenia zmiennej losowej X przez nieprzypadkową kwotę Z jego wariancja jest mnożona przez od 2.

Dowód: z definicji wariancji

. (6.13)

Dla odchylenia standardowego właściwość ta ma postać:

(6.14)

Rzeczywiście, dla ½С½>1 wartość cX ma możliwe wartości (w wartości bezwzględnej) większe niż wartość X. W rezultacie wartości te są rozproszone wokół oczekiwań matematycznych M[cX] większe niż możliwe wartości X wokół M[X], tj. . Jeśli 0<½с½<1, то .

Zasada 3s. Dla większości wartości zmiennej losowej wartość bezwzględna jej odchylenia od oczekiwań matematycznych nie przekracza trzykrotnej wartości odchylenia standardowego, czyli innymi słowy prawie wszystkie wartości SV mieszczą się w przedziale:

[ M - 3S; M + 3 S; ].(6.15)

Prawdopodobieństwo znalezienia się w danym przedziale normalnej zmiennej losowej

Jak już ustalono, prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie wartość należącą do przedziału, jest równe pewnej całce z gęstości rozkładu, przyjętej w odpowiednich granicach:
.
Dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym otrzymujemy odpowiednio:
.
Przekształćmy ostatnie wyrażenie, wprowadzając nową zmienną . Dlatego wykładnik wyrażenia pod całką przekształca się na:
.
Aby zamienić zmienną w całkę oznaczoną, nadal konieczne jest zastąpienie różniczki i granic całkowania, po uprzednim wyrażeniu zmiennej ze wzoru zastępczego:
;
;
– dolna granica całkowania;
– górna granica całkowania;
(aby znaleźć granice całkowania po nowej zmiennej, do wzoru na podstawienie zmiennej podstawiono granice całkowania po starej zmiennej).
Podstawmy wszystko do ostatniej formuły, aby znaleźć prawdopodobieństwo:


Gdzie – Funkcja Laplace’a.
Wniosek: prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym przyjmie wartość należącą do przedziału, jest równe:
,
gdzie jest oczekiwaniem matematycznym i jest odchyleniem standardowym danej zmiennej losowej.

23. Rozkłady Chi-kwadrat, Studenta i Fishera

Korzystając z rozkładu normalnego, zdefiniowano trzy rozkłady, które są obecnie często stosowane w przetwarzaniu danych statystycznych. Rozkłady te pojawiają się wielokrotnie w późniejszych partiach książki.

Rozkład Pearsona (chi – kwadrat) – rozkład zmiennej losowej

gdzie są zmienne losowe X 1, X 2,…, X rz niezależne i mają ten sam rozkład N(0,1). W tym przypadku liczba terminów, tj. N, nazywana jest „liczbą stopni swobody” rozkładu chi-kwadrat.

Rozkład chi-kwadrat stosowany jest przy szacowaniu wariancji (za pomocą przedziału ufności), przy testowaniu hipotez zgodności, jednorodności, niezależności, przede wszystkim dla zmiennych jakościowych (skategoryzowanych), które przyjmują skończoną liczbę wartości oraz w wielu innych zadaniach danych statystycznych analiza.

Dystrybucja T T Studenta jest rozkładem zmiennej losowej

gdzie są zmienne losowe U I X niezależny, U ma standardowy rozkład normalny N(0,1) i X– rozkład chi – kwadrat c N stopnie swobody. W której N nazywana jest „liczbą stopni swobody” rozkładu Studenta.

Dystrybucję studencką wprowadził w 1908 roku angielski statystyk W. Gosset, który pracował w fabryce piwa. W tej fabryce przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i technicznych stosowano metody probabilistyczne i statystyczne, dlatego jej kierownictwo zabroniło V. Gossetowi publikowania artykułów naukowych pod własnym nazwiskiem. W ten sposób chroniono tajemnice przedsiębiorstwa oraz „know-how” w postaci metod probabilistycznych i statystycznych opracowanych przez V. Gosseta. Miał jednak okazję publikować pod pseudonimem „Student”. Historia Gosset-Student pokazuje, że już sto lat temu menedżerowie w Wielkiej Brytanii zdawali sobie sprawę z większej efektywności ekonomicznej metod probabilistyczno-statystycznych.

Obecnie rozkład Studenta jest jednym z najbardziej znanych rozkładów stosowanych w analizie danych rzeczywistych. Stosuje się go przy szacowaniu oczekiwań matematycznych, wartości prognozy i innych cech za pomocą przedziałów ufności, testowaniu hipotez o wartości oczekiwań matematycznych, współczynnikach regresji, hipotezach o jednorodności próbki itp. .