निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वितरण कानून के विनिर्देशन के लिए प्रपत्र

असतत यादृच्छिक चर के वितरण का कानून स्थापित करने के रूप

1). वितरण तालिका (पंक्ति) - असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप।

चूँकि तालिका यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करती है।

2). वितरण बहुभुज . जब एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वितरण श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जाता है, तो एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। फिर बिंदु खींचे जाते हैं और सीधे खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी आकृति - एक वितरण बहुभुज - एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का एक रूप भी है।

3). वितरण समारोह - संभावना है कि एक यादृच्छिक चर X किसी दिए गए x से कम मान लेगा, अर्थात।

.

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, इसे एक यादृच्छिक बिंदु से टकराने की संभावना के रूप में माना जा सकता है एक्सएक निश्चित बिंदु के बाईं ओर स्थित संख्या अक्ष के एक भाग पर एक्स।

2) ; ;

कार्य 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्स- 3 शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या (समस्या 1.5 देखें)। एक वितरण श्रृंखला, एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें, वितरण फ़ंक्शन के मानों की गणना करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान:

1) यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्सतालिका में प्रस्तुत किया गया है

पर	,
पर	,
पर	,
पर
पर	.

भुज अक्ष पर मान आलेखित करना एक्स,और कोटि अक्ष के अनुदिश - मान और एक निश्चित पैमाने का चयन करके, हम वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्राप्त करते हैं (चित्र 2.2)। असतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन में उन बिंदुओं पर छलांग (असंतोष) होती है जिन पर यादृच्छिक चर होता है एक्सवितरण तालिका में निर्दिष्ट विशिष्ट मान लेता है। वितरण फलन में सभी उछालों का योग एक के बराबर है।

चावल। 2.2 - असतत मूल्य का वितरण कार्य

1). वितरण समारोह .

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ (चित्र 2.3) में एक चिकने वक्र का आकार होता है।

वितरण फलन के गुण:

ग) यदि .

चावल। 2.3 - सतत मान का वितरण फलन

2). वितरण घनत्व के रूप में परिभाषित वितरण फलन का व्युत्पन्न, अर्थात्

.

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व को दर्शाने वाला वक्र, बुलाया वितरण वक्र (चित्र 2.4)।

घनत्व गुण:

और वे। घनत्व एक गैर-नकारात्मक कार्य है;

बी), यानी क्षेत्र सीमित वितरण वक्र और x-अक्ष सदैव 1 के बराबर होता है।

यदि एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्ससे रेंज एपहले बी, तो घनत्व का दूसरा गुण रूप लेगा:

चावल। 2.4 - वितरण वक्र

व्यवहार में, प्रायिकता जानना आवश्यक होता है कि एक यादृच्छिक चर एक्सकुछ सीमा के भीतर मान लेगा, उदाहरण के लिए, ए से बी तक। के लिए आवश्यक संभाव्यता असतत यादृच्छिक चर एक्ससूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

चूंकि सतत यादृच्छिक चर के किसी भी व्यक्तिगत मान की संभावना शून्य है:।

एक सतत यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्सअंतराल (ए,बी) को भी अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

समस्या 2.3.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

घनत्व, साथ ही संभावना ज्ञात करें कि परीक्षण का परिणाम एक यादृच्छिक चर है एक्सअंतराल में निहित मान लेगा.

समाधान:

2. एक यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्सअंतराल में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है. और लेते हुए, हम पाते हैं

आइए यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात करें एक्स, सामान्य वितरण कानून के अधीन:

आइए अभिन्न में बदलाव करें और इसे इस रूप में लाएं:

.

अभिन्न प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन अभिव्यक्ति के निश्चित अभिन्न अंग को व्यक्त करने वाले एक विशेष फ़ंक्शन के माध्यम से इसकी गणना की जा सकती है। आइए फ़ंक्शन को व्यक्त करें लाप्लास फ़ंक्शन Ф(х) के माध्यम से:

.

एक यादृच्छिक चर X के क्षेत्र (α, β) में गिरने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

.

अंतिम सूत्र का उपयोग करके, आप एक पूर्व निर्धारित मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक मान ε द्वारा गणितीय अपेक्षा से विचलित होने वाले सामान्य यादृच्छिक चर की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं:

.

चलो , फिर और . पर टी=3 हमें प्राप्त होता है, अर्थात्। यह घटना कि गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचलन कम होगा, व्यावहारिक रूप से निश्चित है।

यह है तीन सिग्मा नियम: यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके मूल्यों के विचलन का पूर्ण मूल्य मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

काम।मान लीजिए कि कार्यशाला द्वारा उत्पादित हिस्से का व्यास सामान्य रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर है, एम = 4.5 सेमी, सेमी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए भाग का व्यास उसकी गणितीय अपेक्षा से 1 मिमी से अधिक भिन्न नहीं है।

समाधान. यह समस्या उन मापदंडों के निम्नलिखित मानों की विशेषता है जो वांछित संभावना निर्धारित करते हैं: , , एफ(0.2)=0.0793,

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. किस संभाव्यता वितरण को एकसमान कहा जाता है?

2. अंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का रूप क्या है [ ए; बी]?

3. किसी दिए गए अंतराल के भीतर समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मूल्यों की संभावना की गणना कैसे करें?

4. यादृच्छिक चर का घातीय वितरण कैसे निर्धारित किया जाता है?

5. घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर के वितरण फलन का क्या रूप होता है?

6. किस संभाव्यता वितरण को सामान्य कहा जाता है?

7. सामान्य वितरण घनत्व में क्या गुण होते हैं? सामान्य वितरण के पैरामीटर सामान्य वितरण घनत्व ग्राफ़ की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं?

8. किसी दिए गए अंतराल के भीतर सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मूल्यों की संभावना की गणना कैसे करें?

9. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा से विचलन की संभावना की गणना कैसे करें?

10. "थ्री सिग्मा" नियम का निर्माण करें?

11. खंड पर एक समान कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन क्या हैं [ ए; बी]?

12. पैरामीटर λ के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, भिन्नता और मानक विचलन क्या हैं?

13. मापदंडों के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्या हैं एमऔर ?

परीक्षण कार्य

1. यादृच्छिक चर एक्सअंतराल [−3,5] पर समान रूप से वितरित। वितरण घनत्व और वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. दोनों कार्यों के ग्राफ़ बनाएं। सम्भावनाएँ खोजें और। अपेक्षित मान, विचरण और मानक विचलन की गणना करें एक्स.

2. रूट नंबर 21 पर बसें नियमित रूप से 10 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। एक यात्री यादृच्छिक समय पर एक स्टॉप पर उतरता है। एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स- यात्री द्वारा बस का इंतजार करने का समय (मिनटों में)। वितरण घनत्व और वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. दोनों कार्यों के ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी यात्री को बस के लिए पाँच मिनट से अधिक प्रतीक्षा नहीं करनी पड़ेगी। औसत बस प्रतीक्षा समय और बस प्रतीक्षा समय का अंतर ज्ञात करें।

3. यह स्थापित किया गया है कि वीसीआर के लिए मरम्मत का समय (दिनों में) एक यादृच्छिक चर है एक्स, घातांकीय नियम के अनुसार वितरित। वीसीआर की औसत मरम्मत का समय 10 दिन है। वितरण घनत्व और वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. दोनों कार्यों के ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वीसीआर की मरम्मत में कम से कम 11 दिन लगेंगे।

4. यादृच्छिक चर के घनत्व ग्राफ़ और वितरण फ़ंक्शन बनाएं एक्स, मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एम= = − 2 और = 0.2.

एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

यह पहले से ही ज्ञात है कि यदि एक यादृच्छिक चर

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया गया है। तब संभावना है कि X अंतराल (a,b) से संबंधित मान लेगा, बराबर है

आइए इस सूत्र को रूपांतरित करें ताकि आप तैयार तालिकाओं का उपयोग कर सकें। आइए एक नया वेरिएबल z = (x--а)/--s प्रस्तुत करें। इसलिए x = sz+a, dx = sdz. आइए एकीकरण की नई सीमाएँ खोजें। यदि x= a, तो z=(a-a)/--s; यदि x = b, तो z = (b-a)/--s।

इस प्रकार हमारे पास है

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करना

हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे

किसी यादृच्छिक घटना की संभावना की गणना करना

14 भागों के एक बैच में 2 गैर-मानक भाग हैं। 3 आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या। संख्यात्मक विशेषताएँ खोजें, . समाधान स्पष्ट है...

केलिको स्ट्रिप्स की तन्यता ताकत पर शोध

कहते हैं...

अज्ञात वितरण मापदंडों का अनुमान लगाने की विधियाँ

यदि एक यादृच्छिक चर तब संभावना है कि X मान लेगा...

निरंतर यादृच्छिक चर

बिंदु x पर एक यादृच्छिक चर एफ(एक्स)=पी(एक्स< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

निरंतर यादृच्छिक चर. सामान्य वितरण कानून

वितरण घनत्व को जानकर, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक सतत यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल से संबंधित मान लेगा। गणना निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय. संभावना...

अंतिम गणितीय अपेक्षा mx=5 मानक विचलन yx=3 नमूना आकार n=335 विश्वास संभावना r=0.95 महत्व स्तर चयनित मानों की संख्या N=13 एक यादृच्छिक चर मॉडलिंग...

स्थैतिक प्रणाली मॉडलिंग

स्थैतिक प्रणाली मॉडलिंग

3. एक यादृच्छिक प्रक्रिया की सांख्यिकीय विशेषताओं का अनुमान। समस्याओं का निर्धारण अनुभागों के अनुसार किया जाता है...

स्थैतिक प्रणाली मॉडलिंग

वितरण: f(x)=b(3-x), b>0 वितरण सीमाएं 1

स्थैतिक प्रणाली मॉडलिंग

यादृच्छिक चर क्या है

यादृच्छिक चर सिद्धांत संभाव्यता ऊपर चर्चा किए गए यादृच्छिक चर के वितरण के नियम केवल अलग-अलग मात्राओं के संबंध में मान्य हैं, इस तथ्य के कारण...

संभाव्यता सिद्धांत के तत्व

आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो व्यावहारिक अनुप्रयोग की दृष्टि से महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि वितरण घनत्व के साथ एक सतत यादृच्छिक चर है। हम संबंध से जुड़ी मात्रा के वितरण घनत्व को खोजने की समस्या में रुचि रखते हैं:...

चावल। 4. सामान्य वितरण का घनत्व.

उदाहरण 6. किसी यादृच्छिक चर की घनत्व द्वारा संख्यात्मक विशेषताओं का निर्धारण एक उदाहरण का उपयोग करके माना जाता है। एक सतत यादृच्छिक चर घनत्व द्वारा दिया जाता है

वितरण का प्रकार निर्धारित करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और विचरण D(X) ज्ञात करें।

समाधान। दिए गए वितरण घनत्व की तुलना (1.16) से करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m=4 के साथ एक सामान्य वितरण कानून दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा

M(X)=4, विचरण D(X)=9.

मानक विचलन σ =3.

सामान्य वितरण फ़ंक्शन (1.17) लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है, जिसका रूप है:

संबंध: Φ (− x) = −Φ (x). (लाप्लास फ़ंक्शन विषम है)। फ़ंक्शन f(x) और Ф(х) के मानों की गणना तालिका का उपयोग करके की जा सकती है।

सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता सिद्धांत और वास्तविकता का वर्णन करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, अक्सर हमारा सामना ऐसे यादृच्छिक चर से होता है जो सटीक रूप से कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों की संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप किसी दिए गए अंतराल और सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन में गिरने की संभावना की गणना करने की समस्या को हल कर सकते हैं।

3.4. एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

यदि वितरण घनत्व f(x) द्वारा एक यादृच्छिक चर सामान्य वितरण एन (ए, σ) के लिए (1.16) से वितरण घनत्व के मूल्य को सूत्र (1.9 ए) में प्रतिस्थापित करना और परिवर्तनों की एक श्रृंखला बनाना, संभावना है कि एक्स किसी दिए गए अंतराल से संबंधित मूल्य लेगा बराबर होगा को:

पी ( एक्स 1 ≤ एक्स ≤ एक्स 2 ) = Φ(x 2 σ - ए )

जहाँ: a गणितीय अपेक्षा है।

−Φ(	x1 - ए

उदाहरण 7. यादृच्छिक चर X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। गणितीय अपेक्षा a=60, मानक विचलन σ =20. यादृच्छिक चर X के दिए गए अंतराल (30;90) में आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। वांछित संभाव्यता की गणना सूत्र (1.18) का उपयोग करके की जाती है।

हमें मिलता है: पी(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

परिशिष्ट 1 में तालिका के अनुसार: Ф(1.5) = 0.4332.. पी(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

एक यादृच्छिक चर X के किसी दिए गए अंतराल (30; 90) में गिरने की संभावना बराबर है: P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की संभावना की गणना करना

किसी दिए गए मान से सामान्य यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना की गणना करने की समस्याएं विभिन्न प्रकार की त्रुटियों (माप, वजन) से जुड़ी हैं। विभिन्न प्रकार की त्रुटियों को चर ε द्वारा दर्शाया जाता है।

मान लीजिए ε निरपेक्ष मान में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का विचलन है। यह संभावना ज्ञात करना आवश्यक है कि गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर X का विचलन दिए गए मान ε से अधिक नहीं होगा। यह प्रायिकता इस प्रकार लिखी जाती है: P(|X–a| ≤ ε ). यह माना जाता है कि सूत्र (1.18) में खंड [x1; x2 ] गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है। इस प्रकार: a–х1 =ε; x2 –a =ε. यदि इन भावों को जोड़ दिया जाए, तो हम लिख सकते हैं: x2 – x1 =2ε. अंतराल की सीमाएँ [x1; x2 ] इस तरह दिखेगा:

x1 =a –ε; x2 =a + ε.

(1.19) से मान x1, x2 को (1.18) के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाता है, और घुंघराले कोष्ठक में अभिव्यक्ति को दो असमानताओं के रूप में फिर से लिखा जाता है:

1) x 1 ≤

2) X ≤ x 2, इसी तरह x2 को प्रतिस्थापित करें, यह पता चलता है:

उदाहरण 8. किसी भाग का व्यास मापा जाता है। यादृच्छिक माप त्रुटियों को एक यादृच्छिक चर प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि माप निरपेक्ष मान में 2 मिमी से अधिक की त्रुटि के साथ किया जाएगा।

समाधान। दिया गया है: ε =2, σ =1मिमी, a=0.

सूत्र (5.20) के अनुसार: P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0)।

संभावना यह है कि माप निरपेक्ष मान में 1 मिमी से अधिक की त्रुटि के साथ किया जाएगा:

पी (|एक्स| ≤ ε ) = 2 0.4772 = 0.9544।

उदाहरण 9. एक यादृच्छिक चर को सामान्य कानून के अनुसार मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है: a=50 और σ =15। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा - a से विचलन 5 से कम होगा, अर्थात। पी(|एक्स–ए|<5).

समाधान। (1.18) को ध्यान में रखते हुए हमारे पास होगा: P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

एक सामान्य यादृच्छिक चर का प्रसरण.

फैलावयादृच्छिक चर संबंधित केन्द्रित यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है।

यह गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है, अर्थात। मान सीमा की चौड़ाई.

गणना सूत्र:

विचरण की गणना दूसरे प्रारंभिक क्षण के माध्यम से की जा सकती है:

(6.10)

एक यादृच्छिक चर का फैलाव उसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव (बिखराव) की डिग्री को दर्शाता है। एसवी का विचरण (असतत और निरंतर दोनों) एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) मात्रा है।

यादृच्छिक चर के विचरण में यादृच्छिक चर के वर्ग का आयाम होता है। स्पष्टता के लिए, फैलाव विशेषताओं का उपयोग उस मान के साथ किया जाता है जिसका आयाम एसवी आयाम के साथ मेल खाता है।

मानक विचलन (आरएमएस)पूर्वोत्तर एक्सविशेषता कहलाती है

. (6.11)

आरएमएसडी को एसवी के समान भौतिक इकाइयों में मापा जाता है और एसवी मूल्यों की सीमा की चौड़ाई को दर्शाता है।

फैलाव गुण

स्थिर मान का प्रसरण साथशून्य के बराबर.

सबूत: विचरण की परिभाषा के अनुसार

जब एक यादृच्छिक चर में जोड़ा जाता है एक्सगैर-यादृच्छिक मान साथइसका फैलाव नहीं बदलता.

डी[एक्स+सी] = डी[एक्स].

सबूत: विचरण की परिभाषा के अनुसार

(6.12)

3. किसी यादृच्छिक चर को गुणा करते समय एक्सएक गैर-यादृच्छिक राशि से साथइसका विचरण कई गुना बढ़ जाता है 2 से.

सबूत: विचरण की परिभाषा के अनुसार

. (6.13)

मानक विचलन के लिए, इस संपत्ति का रूप है:

(6.14)

दरअसल, ½С½>1 के लिए मान cX के संभावित मान (निरपेक्ष मान में) मान X से अधिक हैं। नतीजतन, ये मान गणितीय अपेक्षा के आसपास बिखरे हुए हैं एम[सीएक्स] संभावित मूल्यों से अधिक एक्सआस-पास एम[एक्स], अर्थात। . यदि 0<½с½<1, то .

नियम 3एस.एक यादृच्छिक चर के अधिकांश मूल्यों के लिए, गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है, या, दूसरे शब्दों में, एसवी के लगभग सभी मान अंतराल में होते हैं:

[ एम - 3एस; एम + 3 एस; ].(6.15)

एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

जैसा कि पहले ही स्थापित किया जा चुका है, संभावना है कि एक निरंतर यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेगा, उचित सीमा के भीतर वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है:
.
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए, हम क्रमशः प्राप्त करते हैं:
.
आइए एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करके अंतिम अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें . इसलिए, अभिन्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति का प्रतिपादक इसमें रूपांतरित हो जाता है:
.
एक चर को एक निश्चित अभिन्न में बदलने के लिए, अंतर और एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना अभी भी आवश्यक है, पहले चर को प्रतिस्थापन सूत्र से व्यक्त किया गया है:
;
;
– एकीकरण की निचली सीमा;
– एकीकरण की ऊपरी सीमा;
(नए चर पर एकीकरण की सीमाएं खोजने के लिए, पुराने चर पर एकीकरण की सीमाओं को चर प्रतिस्थापन सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया था)।
आइए संभाव्यता ज्ञात करने के लिए अंतिम सूत्र में सब कुछ प्रतिस्थापित करें:


कहाँ – लाप्लास फ़ंक्शन.
निष्कर्ष: सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अंतराल से संबंधित मान लेने की संभावना इसके बराबर है:
,
गणितीय अपेक्षा कहां है और किसी दिए गए यादृच्छिक चर का मानक विचलन है।

23. ची-स्क्वायर, छात्र और फिशर वितरण

सामान्य वितरण का उपयोग करते हुए, तीन वितरण परिभाषित किए जाते हैं जो अब अक्सर सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उपयोग किए जाते हैं। ये वितरण पुस्तक के बाद के खंडों में कई बार दिखाई देते हैं।

पियर्सन वितरण (ची - वर्ग) - एक यादृच्छिक चर का वितरण

यादृच्छिक चर कहाँ हैं एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एनस्वतंत्र और समान वितरण रखते हैं एन(0,1). इस मामले में, पदों की संख्या, अर्थात्। एन, को ची-स्क्वायर वितरण की "स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या" कहा जाता है।

ची-स्क्वायर वितरण का उपयोग विचरण का आकलन करते समय (विश्वास अंतराल का उपयोग करके), सहमति, समरूपता, स्वतंत्रता की परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, मुख्य रूप से गुणात्मक (वर्गीकृत) चर के लिए किया जाता है जो मूल्यों की एक सीमित संख्या लेते हैं, और सांख्यिकीय डेटा के कई अन्य कार्यों में विश्लेषण।

वितरण टीविद्यार्थी का t एक यादृच्छिक चर का वितरण है

यादृच्छिक चर कहाँ हैं यूऔर एक्सस्वतंत्र, यूएक मानक सामान्य वितरण है एन(0.1), और एक्स– ची वितरण – वर्ग सी एनस्वतंत्रता की कोटियां। जिसमें एनइसे छात्र वितरण की "स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या" कहा जाता है।

छात्र वितरण की शुरुआत 1908 में अंग्रेजी सांख्यिकीविद् डब्ल्यू. गोसेट द्वारा की गई थी, जो एक बीयर फैक्ट्री में काम करते थे। इस कारखाने में आर्थिक और तकनीकी निर्णय लेने के लिए संभाव्य और सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग किया जाता था, इसलिए इसके प्रबंधन ने वी. गॉसेट को अपने नाम से वैज्ञानिक लेख प्रकाशित करने से मना किया था। इस तरह, वी. गॉसेट द्वारा विकसित संभाव्य और सांख्यिकीय तरीकों के रूप में व्यापार रहस्य और "जानकारी" की रक्षा की गई। हालाँकि, उन्हें छद्म नाम "छात्र" के तहत प्रकाशित करने का अवसर मिला। गॉसेट-स्टूडेंट के इतिहास से पता चलता है कि सौ साल पहले भी, ग्रेट ब्रिटेन में प्रबंधकों को संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों की अधिक आर्थिक दक्षता के बारे में पता था।

वर्तमान में, छात्र वितरण वास्तविक डेटा के विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले सबसे प्रसिद्ध वितरणों में से एक है। इसका उपयोग आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा, पूर्वानुमान मूल्य और अन्य विशेषताओं का आकलन करते समय, गणितीय अपेक्षाओं के मूल्यों, प्रतिगमन गुणांक, नमूना समरूपता की परिकल्पना आदि के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय किया जाता है। .