फ़ोटोशॉप में जल्दी से एक सीधी और सुंदर रेखा कैसे बनाएं। एक रूलर का उपयोग करके किसी बिंदु से होकर किसी दिए गए बिंदु के समानांतर एक रेखा कैसे खींची जाए

केंद्र वाला एक वृत्त दिया गया है के बारे मेंऔर अवधि एघेरे के बाहर. ए)वृत्त का व्यास खींचा गया है। केवल रूलर* का उपयोग करते हुए, लंब को नीचे करेंबिंदु से एइस व्यास को. बी)बिंदु के माध्यम से एएक सीधी रेखा खींची जाती है जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। केवल रूलर का उपयोग करते हुए, लंब को नीचे करेंबिंदु से के बारे मेंइस सीधी रेखा के लिए.

*टिप्पणी। निर्माण कार्यों में, एक "रूलर" का अर्थ हमेशा मापने का उपकरण नहीं, बल्कि एक ज्यामितीय होता है - इसकी मदद से आप केवल सीधी रेखाएँ (दो मौजूदा बिंदुओं के माध्यम से) खींच सकते हैं, लेकिन बिंदुओं के बीच की दूरी को नहीं माप सकते। इसके अलावा, एक ज्यामितीय शासक को एक तरफा माना जाता है - इसका उपयोग केवल शासक के एक तरफ को दो बिंदुओं पर लगाकर और दूसरी तरफ एक रेखा खींचकर समानांतर रेखा खींचने के लिए नहीं किया जा सकता है।

संकेत 1

वृत्त के केंद्र के बजाय व्यास के सिरों का उपयोग करें।

संकेत 2

किसी वृत्त के व्यास के आधार पर उसके शीर्ष पर बना कोण समकोण होता है। यह जानकर, आप व्यास और बिंदु के सिरों से बने त्रिभुज में दो ऊँचाईयाँ बना सकते हैं ए.

संकेत 3

पहले पैराग्राफ में दिए गए मामले की तुलना में एक सरल मामले को हल करने का प्रयास करें बी), - जब कोई दी गई रेखा किसी वृत्त को काटती है।

समाधान

ए)होने देना सूरज- दिया गया व्यास (चित्र 1)। समस्या को हल करने के लिए, बस पहले दो सुझाव याद रखें: यदि आप सीधी रेखाएँ खींचते हैं अबऔर एसी, और फिर उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को त्रिभुज के वांछित शीर्षों वाले वृत्त से जोड़ दें एबीसी, तो आपको इस त्रिभुज की दो ऊँचाइयाँ मिलती हैं। और चूँकि त्रिभुज की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, तो सीधी रेखा चौधरीतीसरी ऊंचाई होगी, यानी से वांछित लंबवत एव्यास के लिए सूरज.

बी)हालाँकि, इस बिंदु का समाधान, तीसरे संकेत में दिए गए मामले में भी, सरल नहीं लगता है: हाँ, हम व्यास खींच सकते हैं, उनके सिरों को जोड़ सकते हैं और एक आयत प्राप्त कर सकते हैं ए बी सी डी(चित्र 2, जिसमें, सरलता के लिए, बिंदु एवृत्त पर अंकित), लेकिन यह हमें वृत्त के केंद्र से लंब बनाने के करीब कैसे लाता है?

यहां बताया गया है: त्रिकोण के बाद से एओबीसमद्विबाहु, फिर लंबवत (ऊंचाई) ठीक हैबीच से गुजरेगा कदोनों पक्ष अब. इसका मतलब यह है कि कार्य इस ओर के मध्य को खोजने तक ही सिमट कर रह गया है। आश्चर्य की बात यह है कि अब हमें किसी वृत्त और अवधि की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है डीइसके अलावा, सामान्य तौर पर, "अनावश्यक"। और यहाँ खंड है सीडी- अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं, लेकिन इस पर हमें किसी विशिष्ट बिंदु की नहीं, बल्कि पूरी तरह से मनमाने बिंदु की आवश्यकता होगी इ! यदि हम इस रूप में नामित करते हैं एलचौराहे की जगह होनाऔर एसी।(चित्र 3) और फिर विस्तार करें ए.ई.निरंतरता के साथ प्रतिच्छेदन तक ईसा पूर्वबिंदु पर एम, फिर सीधे एल.एम.- यही हमारी सभी चिंताओं और समस्याओं का समाधान है!

क्या यह सच है, बहुत समान है, क्या एल.एम.क्रॉस अबबीच में? यह सच है। इसे साबित करने का प्रयास करें. हम समस्या के अंत तक प्रमाण को स्थगित रखेंगे।

इसलिए, हमने एक खंड का मध्यबिंदु ज्ञात करना सीख लिया है अब, जिसका अर्थ है कि हमने लंब को नीचे करना सीख लिया है अबवृत्त के केंद्र से. लेकिन उस मूल समस्या का क्या करें जिसमें दी गई रेखा वृत्त को नहीं काटती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 4?

आइए समस्या को पहले से ही हल की गई किसी चीज़ तक सीमित करने का प्रयास करें। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह।

सबसे पहले, हम वृत्त के केंद्र के सापेक्ष दी गई रेखा के सममित एक सीधी रेखा बनाते हैं। चित्र से निर्माण स्पष्ट है। 5, जिस पर यह सीधी रेखा वृत्त के नीचे क्षैतिज है, और इसके सममित रूप से निर्मित रेखा को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है (दो नीले बिंदुओं को वृत्त पर पूरी तरह से मनमाने ढंग से लिया जा सकता है)। उसी समय हम आपको केंद्र के माध्यम से ले चलेंगे के बारे मेंइस सीधी रेखा पर समान लंबाई के दो खंड प्राप्त करने के लिए एक वृत्त में परिणामी आयत के किनारों में से एक पर लंबवत एक और सीधी रेखा।

दो समानांतर रेखाएँ होने पर, जिनमें से एक पर खंड के दोनों सिरे और मध्य पहले से ही अंकित हैं, एक मनमाना बिंदु लें टी(उदाहरण के लिए, एक वृत्त पर) और ऐसे एक बिंदु का निर्माण करें एस, जो सीधा है टी.एस.मौजूदा दो सीधी रेखाओं के समानांतर होगा। यह निर्माण चित्र में दिखाया गया है। 6.

इस प्रकार, हमने दी गई रेखा के समानांतर वृत्त की एक जीवा प्राप्त कर ली है, अर्थात, हमने समस्या को पहले हल किए गए संस्करण में कम कर दिया है, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से ऐसी जीवा पर लंब कैसे खींचना है।

यह इस तथ्य का प्रमाण प्रदान करना बाकी है कि हमने ऊपर क्या उपयोग किया है।

अहाता एबीसीईचित्र में 3 - समलम्बाकार, एलइसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और एम- इसके पक्षों के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु। ट्रेपेज़ॉइड की प्रसिद्ध संपत्ति के अनुसार (इसे भी कहा जाता है ट्रेपेज़ॉइड की उल्लेखनीय संपत्ति; आप देख सकते हैं कि यह कैसे सिद्ध होता है) प्रत्यक्ष एम.एल.समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य से होकर गुजरता है।

दरअसल, एक बार फिर हम पिछले उपकार्य में पहले से ही उसी प्रमेय पर भरोसा करते थे, जब हमने तीसरी समानांतर रेखा खींची थी।

अंतभाषण

एकल शासक का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण का सिद्धांत, जब एक केंद्र के साथ एक सहायक वृत्त दिया जाता है, 19 वीं शताब्दी के उल्लेखनीय जर्मन जियोमीटर जैकब स्टीनर द्वारा विकसित किया गया था (उनके उपनाम स्टीनर को "स्टीनर" के रूप में उच्चारित करना अधिक सही है, लेकिन रूसी साहित्य में दो "ई" की वर्तनी लंबे समय से स्थापित है)। हम उनकी गणितीय उपलब्धियों के बारे में पहले ही एक बार समस्या "संक्षेप में, स्किलीफोसोव्स्की" में बात कर चुके हैं। "ज्यामितीय निर्माण एक सीधी रेखा और एक निश्चित वृत्त के साथ निष्पादित" पुस्तक में, स्टीनर ने प्रमेय साबित किया जिसके अनुसार कोई भी निर्माण जो एक कंपास और शासक के साथ किया जा सकता है वह बिना कंपास के भी किया जा सकता है यदि केवल एक वृत्त और उसका केंद्र दिया गया हो चिह्नित है। । स्टीनर का प्रमाण आम तौर पर कम्पास का उपयोग करके किए गए बुनियादी निर्माणों को पूरा करने की संभावना को प्रदर्शित करने के लिए उबलता है - विशेष रूप से, समानांतर और लंबवत रेखाएं खींचना। हमारा कार्य, जैसा कि देखना आसान है, इस प्रदर्शन का एक विशेष मामला है।

हालाँकि, कुछ समस्याओं का स्टीनर का समाधान एकमात्र समाधान नहीं था। हम दूसरी विधि भी प्रस्तुत करेंगे।

इस रेखा पर दो मनमाने बिंदु लीजिए एऔर बी(चित्र 7)। सबसे पहले हम से एक लम्ब बनाते हैं ए(नीली) सीधी रेखा की ओर बी.ओ.- यह वास्तव में हमारी पहली समस्या का समाधान है, क्योंकि इस सीधी रेखा में वृत्त का व्यास होता है; चित्र में सभी संगत निर्माण। 7 नीले रंग में हैं. फिर हम से एक लम्ब बनाते हैं बी(हरी) सीधी रेखा की ओर ए.ओ.- यह बिल्कुल उसी समस्या का वही समाधान है, निर्माण हरे रंग में किए गए हैं। इस प्रकार हमें त्रिभुज की दो ऊँचाइयाँ प्राप्त हुईं एओबी. इस त्रिभुज की तीसरी ऊंचाई केंद्र से होकर गुजरती है हेऔर अन्य दो ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु। यह रेखा पर वांछित लम्ब है अब.

लेकिन वह सब नहीं है। दूसरी विधि की (सापेक्षिक) सरलता के बावजूद, यह "अत्यधिक लंबी" है। इसका मतलब यह है कि एक और निर्माण विधि है जिसके लिए कम संचालन की आवश्यकता होती है (निर्माण समस्याओं में, कंपास या शासक के साथ खींची गई प्रत्येक रेखा को एक ऑपरेशन के रूप में गिना जाता है)। ज्ञात निर्माणों में से जिन निर्माणों के लिए न्यूनतम संख्या में संचालन की आवश्यकता होती है, उन्हें फ्रांसीसी गणितज्ञ एमिल लेमोइन (1840-1912) ने कहा था। ज्यामितिक(देखें: जियोमेट्रोग्राफी)।

तो, हम आपके ध्यान में इस मुद्दे का एक ज्यामितीय समाधान लाते हैं बी). इसके लिए केवल 10 चरणों की आवश्यकता होती है, जिसमें पहले छह "प्राकृतिक" और अगले तीन "अद्भुत" होते हैं। सबसे आखिरी चरण, लंब खींचना, को शायद प्राकृतिक भी कहा जाना चाहिए।

हम एक लाल बिंदीदार लंब (चित्र 8) खींचना चाहते हैं, इसके लिए हमें इसके अलावा इस पर कोई बिंदु ढूंढना होगा के बारे में. जाना।

1) चलो एएक रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, और सी- वृत्त पर एक मनमाना बिंदु। हम एक प्रत्यक्ष कार्य करते हैं एसी।.

2)-3) हम व्यास खींचते हैं ओ.सी.(द्वितीयकीय रूप से वृत्त को बिंदु पर प्रतिच्छेद करना डी) और सीधी रेखा विज्ञापन. रेखाओं के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदुओं को चिह्नित करें एसी।और विज्ञापनएक वृत्त के साथ - बीऔर इ, क्रमश।

4)-6) हम कार्यान्वित करते हैं होना, बी.डीऔर सी.ई.. प्रत्यक्ष सीडीऔर होनाएक बिंदु पर पार हो गया एच, ए बी.डीऔर सी.ई.- बिंदु पर जी(चित्र 9)।

वैसे क्या ऐसा हो सकता है होनासमानांतर होगा सीडी? हाँ निश्चित रूप से। व्यास के मामले में सीडीसीधा ए.ओ., तो बिल्कुल यही होता है: होनाऔर सीडीसमानांतर हैं और बिंदु ए, हेऔर जीएक ही सीधी रेखा पर लेट जाएं. लेकिन बात को समझने का अवसर सीइसे चुनने की हमारी क्षमता को मनमाने ढंग से मान लिया जाता है सीओऔर ए.ओ.लंबवत नहीं थे!

और अब वादा किया गया अद्भुत निर्माण चरण:

7)आचरण जी.एच.जब तक यह किसी दी गई रेखा को एक बिंदु पर नहीं काटता मैं.
8)आचरण सी.आई.जब तक यह वृत्त को बिंदु पर नहीं काटता जे.
9) आचरण बी.जे., जो साथ प्रतिच्छेद करता है जी.एच.... कहाँ? यह सही है, लाल बिंदु पर, जो वृत्त के ऊर्ध्वाधर व्यास पर स्थित है (चित्र 10)।

10) ऊर्ध्वाधर व्यास बनाएं।

चरण 8 के बजाय, आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं डी.आई., और फिर चरण 9 में इसके प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु को बिंदु के साथ वृत्त से जोड़ें इ. नतीजा वही लाल बिंदु होगा. क्या यह आश्चर्य की बात नहीं है? इसके अलावा, यह भी स्पष्ट नहीं है कि अधिक आश्चर्य की बात क्या है - यह तथ्य कि लाल बिंदु दो निर्माण विधियों के लिए समान है, या यह तथ्य कि यह वांछित लंबवत पर स्थित है। हालाँकि, ज्यामिति "तथ्य की कला" नहीं है, बल्कि "प्रमाण की कला" है। तो इसे साबित करने का प्रयास करें.

एक बिंदु एक अमूर्त वस्तु है जिसमें मापने की कोई विशेषता नहीं होती: कोई ऊंचाई नहीं, कोई लंबाई नहीं, कोई त्रिज्या नहीं। कार्य के दायरे में केवल उसका स्थान ही महत्वपूर्ण है

बिंदु को किसी संख्या या बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है। कई बिंदु - अलग-अलग संख्याओं या अलग-अलग अक्षरों के साथ ताकि उन्हें अलग किया जा सके

बिंदु A, बिंदु B, बिंदु C

ए बी सी

बिंदु 1, बिंदु 2, बिंदु 3

1 2 3

आप कागज के एक टुकड़े पर तीन बिंदु "ए" बना सकते हैं और बच्चे को दो बिंदुओं "ए" के माध्यम से एक रेखा खींचने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं। लेकिन किनके माध्यम से कैसे समझें? ए ए ए

एक रेखा बिंदुओं का एक समूह है। केवल लंबाई मापी जाती है। इसकी कोई चौड़ाई या मोटाई नहीं है

लोअरकेस (छोटे) लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है

लाइन ए, लाइन बी, लाइन सी

ए बी सी

लाइन हो सकती है

1. बंद है यदि इसकी शुरुआत और अंत एक ही बिंदु पर हैं,
2. यदि इसकी शुरुआत और अंत जुड़े नहीं हैं तो खोलें

बंद लाइनें

खुली पंक्तियाँ

आपने अपार्टमेंट छोड़ दिया, दुकान से ब्रेड खरीदी और वापस अपार्टमेंट लौट आए। आपको कौन सी पंक्ति मिली? यह सही है, बंद है। आप अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ गए हैं। आपने अपार्टमेंट छोड़ दिया, दुकान से ब्रेड खरीदी, प्रवेश द्वार में गए और अपने पड़ोसी से बात करने लगे। आपको कौन सी पंक्ति मिली? खुला। आप अपने शुरुआती बिंदु पर नहीं लौटे हैं. आपने अपार्टमेंट छोड़ दिया और दुकान से ब्रेड खरीदी। आपको कौन सी पंक्ति मिली? खुला। आप अपने शुरुआती बिंदु पर नहीं लौटे हैं.

1. स्वयं का प्रतिच्छेदन
2. आत्म-अंतर्विरोधों के बिना

स्व-प्रतिच्छेदी रेखाएँ

स्व-प्रतिच्छेदन के बिना पंक्तियाँ

1. सीधा
2. टूटा हुआ
3. टेढ़ा

सीधे पंक्तियां

टूटी हुई लाइनें

घुमावदार रेखाएँ

सीधी रेखा वह रेखा होती है जो घुमावदार नहीं होती, जिसका न तो आरंभ होता है और न ही अंत, इसे दोनों दिशाओं में अनंत काल तक जारी रखा जा सकता है

यहां तक ​​कि जब एक सीधी रेखा का एक छोटा सा खंड दिखाई देता है, तो यह माना जाता है कि यह दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहता है

एक छोटे (छोटे) लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। या दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर - एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदु

सीधी रेखा ए

ए

सीधी रेखा एबी

बी ० ए

प्रत्यक्ष हो सकता है

1. यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो तो प्रतिच्छेद करना। दो रेखाएं केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं।
   • लंबवत यदि वे समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. समानांतर, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

समानांतर रेखाएं

प्रतिच्छेदी रेखाएँ

लम्बवत रेखायें

किरण एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है जिसका आरंभ तो होता है लेकिन कोई अंत नहीं; इसे केवल एक ही दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है

चित्र में प्रकाश की किरण का प्रारंभिक बिंदु सूर्य है।

सूरज

एक बिंदु एक सीधी रेखा को दो भागों में विभाजित करता है - दो किरणें ए ए

बीम को लोअरकेस (छोटा) लैटिन अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। या दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर, जहां पहला वह बिंदु है जहां से किरण शुरू होती है, और दूसरा वह बिंदु है जो किरण पर पड़ता है

रे ए

ए

किरण एबी

बी ० ए

किरणें संयोग करती हैं यदि

1. एक ही सीधी रेखा पर स्थित है
2. एक बिंदु से प्रारंभ करें
3. एक दिशा में निर्देशित

किरणें AB और AC संपाती हैं

किरणें सीबी और सीए संपाती हैं

सी बी ए

एक खंड एक रेखा का एक भाग है जो दो बिंदुओं द्वारा सीमित होता है, अर्थात इसमें शुरुआत और अंत दोनों होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई मापी जा सकती है। किसी खंड की लंबाई उसके आरंभ और अंत बिंदु के बीच की दूरी है

एक बिंदु से होकर आप सीधी रेखाओं सहित कितनी भी रेखाएँ खींच सकते हैं

दो बिंदुओं से होकर - असीमित संख्या में वक्र, लेकिन केवल एक सीधी रेखा

दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली घुमावदार रेखाएँ

बी ० ए

सीधी रेखा एबी

बी ० ए

एक टुकड़ा सीधी रेखा से "काट" गया और एक खंड रह गया। उपरोक्त उदाहरण से आप देख सकते हैं कि इसकी लंबाई दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है। ✂ बी ए ✂

एक खंड को दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहला वह बिंदु है जिस पर खंड शुरू होता है, और दूसरा वह बिंदु है जहां खंड समाप्त होता है

खंड एबी

बी ० ए

समस्या: रेखा, किरण, खंड, वक्र कहाँ है?

टूटी हुई रेखा एक ऐसी रेखा होती है जिसमें लगातार जुड़े हुए खंड 180° के कोण पर नहीं होते हैं

एक लंबा खंड कई छोटे खंडों में "टूटा" गया था

एक टूटी हुई रेखा की कड़ियाँ (श्रृंखला की कड़ियों के समान) वे खंड हैं जो टूटी हुई रेखा बनाते हैं। निकटवर्ती लिंक वे लिंक होते हैं जिनमें एक लिंक का अंत दूसरे लिंक की शुरुआत होती है। आसन्न कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होनी चाहिए।

एक टूटी हुई रेखा के शीर्ष (पहाड़ों की चोटियों के समान) वह बिंदु होते हैं जहां से टूटी हुई रेखा शुरू होती है, वह बिंदु जहां पर टूटी हुई रेखा बनाने वाले खंड जुड़े होते हैं, और वह बिंदु जहां पर टूटी हुई रेखा समाप्त होती है।

एक टूटी हुई रेखा को उसके सभी शीर्षों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जाता है।

टूटी हुई रेखा एबीसीडीई

पॉलीलाइन ए का शीर्ष, पॉलीलाइन बी का शीर्ष, पॉलीलाइन सी का शीर्ष, पॉलीलाइन डी का शीर्ष, पॉलीलाइन ई का शीर्ष

टूटी कड़ी एबी, टूटी कड़ी बीसी, टूटी कड़ी सीडी, टूटी कड़ी डीई

लिंक AB और लिंक BC आसन्न हैं

लिंक BC और लिंक CD आसन्न हैं

लिंक CD और लिंक DE आसन्न हैं

ए बी सी डी ई 64 62 127 52

एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई के योग के बराबर होती है: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

काम: कौन सी टूटी हुई रेखा अधिक लंबी है, ए जिसके शीर्ष अधिक हों? पहली पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 13 सेमी। दूसरी पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 49 सेमी। तीसरी पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 41 सेमी।

बहुभुज एक बंद पॉलीलाइन है

बहुभुज के किनारे (अभिव्यक्ति आपको याद रखने में मदद करेंगे: "चारों दिशाओं में जाओ", "घर की ओर भागो", "आप टेबल के किस तरफ बैठेंगे?") एक टूटी हुई रेखा की कड़ियाँ हैं। बहुभुज की आसन्न भुजाएँ एक टूटी हुई रेखा की आसन्न कड़ियाँ होती हैं।

बहुभुज के शीर्ष एक टूटी हुई रेखा के शीर्ष होते हैं। आसन्न शीर्ष बहुभुज की एक भुजा के अंतिम बिंदु हैं।

एक बहुभुज को उसके सभी शीर्षों को सूचीबद्ध करके दर्शाया जाता है।

स्व-प्रतिच्छेदन के बिना बंद पॉलीलाइन, एबीसीडीईएफ

बहुभुज एबीसीडीईएफ

बहुभुज शीर्ष A, बहुभुज शीर्ष B, बहुभुज शीर्ष C, बहुभुज शीर्ष D, बहुभुज शीर्ष E, बहुभुज शीर्ष F

शीर्ष A और शीर्ष B आसन्न हैं

शीर्ष B और शीर्ष C आसन्न हैं

शीर्ष C और शीर्ष D आसन्न हैं

शीर्ष D और शीर्ष E आसन्न हैं

शीर्ष E और शीर्ष F आसन्न हैं

शीर्ष F और शीर्ष A आसन्न हैं

बहुभुज भुजा AB, बहुभुज भुजा BC, बहुभुज भुजा CD, बहुभुज भुजा DE, बहुभुज भुजा EF

भुजा AB और भुजा BC आसन्न हैं

भुजा BC और भुजा CD आसन्न हैं

CD भुजा और DE भुजा आसन्न हैं

भुजा DE और भुजा EF आसन्न हैं

भुजा EF और भुजा FA आसन्न हैं

ए बी सी डी ई एफ 120 60 58 122 98 141

बहुभुज की परिधि टूटी हुई रेखा की लंबाई है: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

तीन शीर्षों वाले बहुभुज को त्रिभुज कहा जाता है, चार शीर्षों वाले को चतुर्भुज, पाँच शीर्षों वाले को पंचभुज आदि कहा जाता है।

विभिन्न उपकरणों का उपयोग करके समानांतर रेखाओं के निर्माण की विधियाँ समानांतर रेखाओं के संकेतों पर आधारित होती हैं।

कम्पास और रूलर का उपयोग करके समानांतर रेखाएँ बनाना

चलो गौर करते हैं किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के निर्माण का सिद्धांत, एक कम्पास और शासक का उपयोग करना।

मान लीजिए कि एक रेखा दी गई है और कुछ बिंदु A है जो दी गई रेखा से संबंधित नहीं है।

दी गई रेखा के समानांतर किसी दिए गए बिंदु $A$ से गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करना आवश्यक है।

व्यवहार में, किसी दी गई रेखा और बिंदु के बिना दो या दो से अधिक समानांतर रेखाएँ बनाना अक्सर आवश्यक होता है। इस मामले में, मनमाने ढंग से एक सीधी रेखा खींचना और किसी भी बिंदु को चिह्नित करना आवश्यक है जो इस सीधी रेखा पर नहीं होगा।

चलो गौर करते हैं एक समानांतर रेखा के निर्माण के चरण:

व्यवहार में, वे एक रेखाचित्र वर्ग और एक रूलर का उपयोग करके समानांतर रेखाएँ बनाने की विधि का भी उपयोग करते हैं।

एक वर्ग और रूलर का उपयोग करके समानांतर रेखाएँ बनाना

के लिए एक ऐसी रेखा का निर्माण करना जो किसी दी गई रेखा a के समानांतर बिंदु M से होकर गुजरेगी, ज़रूरी:

1. वर्ग को सीधी रेखा $a$ पर विकर्णतः लगाएँ (चित्र देखें), और उसके बड़े पैर पर एक रूलर लगाएँ।
2. वर्ग को रूलर के अनुदिश तब तक घुमाएँ जब तक कि दिया गया बिंदु $M$ वर्ग के विकर्ण पर न आ जाए।
3. बिंदु $M$ से होकर आवश्यक सीधी रेखा $b$ खींचें।

हमने किसी दिए गए बिंदु $M$ से होकर गुजरने वाली एक रेखा प्राप्त की है, जो दी गई रेखा $a$ के समानांतर है:

$a \समानांतर b$, अर्थात $M \in b$।

सीधी रेखाओं $a$ और $b$ की समानता संगत कोणों की समानता से स्पष्ट होती है, जो चित्र में $\alpha$ और $\beta$ अक्षरों से चिह्नित हैं।

किसी दी गई रेखा से निश्चित दूरी पर स्थित एक समानांतर रेखा का निर्माण

यदि किसी दी गई सीधी रेखा के समानांतर और उससे एक निश्चित दूरी पर एक सीधी रेखा बनाना आवश्यक है, तो आप एक रूलर और एक वर्ग का उपयोग कर सकते हैं।

मान लीजिए एक सीधी रेखा $MN$ और एक दूरी $a$ दी गई है।

1. आइए दी गई रेखा $MN$ पर एक मनमाना बिंदु चिह्नित करें और इसे $B$ कहें।
2. बिंदु $B$ से होकर हम रेखा $MN$ पर लंबवत एक रेखा खींचते हैं और इसे $AB$ कहते हैं।
3. बिंदु $B$ से सीधी रेखा $AB$ पर हम खंड $BC=a$ आलेखित करते हैं।
4. एक वर्ग और एक रूलर का उपयोग करके, हम बिंदु $C$ से होकर एक सीधी रेखा $CD$ खींचते हैं, जो दी गई सीधी रेखा $AB$ के समानांतर होगी।

यदि हम खंड $BC=a$ को बिंदु $B$ से दूसरी दिशा में सीधी रेखा $AB$ पर आलेखित करते हैं, तो हमें दी गई रेखा के समानान्तर एक और रेखा प्राप्त होती है, जो इससे दी गई दूरी $a$ पर होती है।

समानांतर रेखाएँ बनाने के अन्य तरीके

समानांतर रेखाएँ बनाने का दूसरा तरीका क्रॉसबार का उपयोग करके निर्माण करना है। अक्सर इस पद्धति का उपयोग ड्राइंग अभ्यास में किया जाता है।

समानांतर रेखाओं को चिह्नित करने और निर्माण करने के लिए बढ़ईगीरी का काम करते समय, एक विशेष ड्राइंग टूल का उपयोग किया जाता है - एक क्लैपर - दो लकड़ी के तख्ते जो एक काज के साथ बांधे जाते हैं।

सीधी रेखाओं का निर्माण तकनीकी रेखांकन का आधार है। आजकल यह ग्राफिक संपादकों की मदद से तेजी से किया जा रहा है, जो डिजाइनर को बेहतरीन अवसर प्रदान करते हैं। हालाँकि, निर्माण के कुछ सिद्धांत शास्त्रीय ड्राइंग के समान ही हैं - एक पेंसिल और शासक का उपयोग करना।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेंसिल;
• - शासक;
• - ऑटोकैड प्रोग्राम वाला कंप्यूटर।

निर्देश

• क्लासिक निर्माण से प्रारंभ करें. वह तल निर्धारित करें जिसमें आप लाइन बनाएंगे। मान लीजिए कि यह कागज की एक शीट का तल है। समस्या की स्थितियों के आधार पर, बिंदुओं को व्यवस्थित करें। वे मनमाने हो सकते हैं, लेकिन यह संभव है कि किसी प्रकार की समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट हो। जहां आपको सबसे अच्छा लगे वहां यादृच्छिक बिंदु लगाएं। उन्हें ए और बी लेबल करें। उन्हें जोड़ने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। सिद्धांत के अनुसार, दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव होता है, और केवल एक के माध्यम से।
• एक समन्वय प्रणाली बनाएं. मान लीजिए आपको बिंदु A (x1; y1) के निर्देशांक दिए गए हैं। उन्हें खोजने के लिए, आपको आवश्यक संख्या को x-अक्ष के अनुदिश आलेखित करना होगा और चिह्नित बिंदु के माध्यम से y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचनी होगी। फिर संबंधित अक्ष के अनुदिश y1 के बराबर मान आलेखित करें। चिह्नित बिंदु से, एक लंब तब तक खींचें जब तक कि वह पहले बिंदु से प्रतिच्छेद न हो जाए। जिस स्थान पर वे प्रतिच्छेद करते हैं वह बिंदु A होगा। उसी प्रकार, बिंदु B खोजें, जिसके निर्देशांक (x2; y2) के रूप में निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। दोनों बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ दें।
• ऑटोकैड में, एक सीधी रेखा का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है। दो-बिंदु फ़ंक्शन आमतौर पर डिफ़ॉल्ट रूप से स्थापित होता है। शीर्ष मेनू में "होम" टैब ढूंढें। आपके सामने ड्रा पैनल दिखाई देगा। एक सीधी रेखा की छवि वाला बटन ढूंढें और उस पर क्लिक करें।
• इस कार्यक्रम में दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा का निर्माण दो तरीकों से किया जा सकता है। कर्सर को स्क्रीन पर वांछित बिंदु पर रखें और बाईं माउस बटन पर क्लिक करें। फिर दूसरा बिंदु निर्धारित करें, वहां एक रेखा खींचें और उस पर भी माउस क्लिक करें।
• ऑटोकैड आपको दोनों बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करने की भी अनुमति देता है। नीचे कमांड लाइन में (_xline) टाइप करें। एंट्रर दबाये। पहले बिंदु के निर्देशांक दर्ज करें और एंटर भी दबाएँ। इसी प्रकार दूसरा बिंदु भी ज्ञात कीजिए। इसे स्क्रीन पर वांछित बिंदु पर कर्सर रखकर माउस क्लिक करके भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
• ऑटोकैड में, आप न केवल दो बिंदुओं से, बल्कि झुकाव के कोण से भी एक सीधी रेखा बना सकते हैं। ड्रा संदर्भ मेनू से, रेखा और फिर कोण विकल्प चुनें। प्रारंभिक बिंदु को पिछली विधि की तरह, माउस पर क्लिक करके या निर्देशांक का उपयोग करके सेट किया जा सकता है। फिर एंगल साइज सेट करें और एंटर दबाएं। डिफ़ॉल्ट रूप से, सीधी रेखा क्षैतिज से वांछित कोण पर स्थित होगी।

सामग्री:

समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जिनके बीच की दूरी नहीं बदलती और जो कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं। कुछ समस्याओं में, आपको एक रेखा और एक बिंदु दिया जाता है जिसके माध्यम से आपको दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचने की आवश्यकता होती है। बेशक, आप एक रूलर ले सकते हैं और आंख से दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि बनाई गई सीधी रेखा दी गई रेखा के समानांतर होगी। ज्यामितीय कानूनों और एक कम्पास का उपयोग करके, आप अतिरिक्त बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं जिनके माध्यम से एक वास्तविक समानांतर रेखा गुजरेगी।

कदम

1 लंबों का निर्माण

1. 1 यह बिंदु इस रेखा पर स्थित नहीं है - सबसे अधिक संभावना है, यह रेखा के ऊपर या नीचे स्थित है। इस लाइन को एम 2 के रूप में नामित करें एक चाप खींचिए जो इस रेखा को दो बिंदुओं पर काटता है।ऐसा करने के लिए, कम्पास सुई को बिंदु A 3 पर स्थापित करें इस बिंदु के विपरीत पहला छोटा चाप बनाएं।सबसे पहले कम्पास समाधान बढ़ाएँ. कम्पास सुई को बिंदु B4 पर रखें एक दूसरा लघु चाप बनाएं जो पहले लघु चाप को प्रतिच्छेद करेगा।कंपास समाधान न बदलें. कम्पास सुई को बिंदु C5 पर रखें दो चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु और दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाली एक रेखा खींचें।इस पंक्ति को n के रूप में लेबल करें
   • याद रखें कि लंब एक खंड (इस मामले में एक सीधी रेखा) है जो दूसरे खंड (एक सीधी रेखा) को 90 डिग्री के कोण पर काटता है।
2. 6 एक चाप खींचिए जो एक लंब रेखा को दो बिंदुओं पर काटता है।ऐसा करने के लिए, कम्पास सुई को बिंदु A 7 पर स्थापित करें इस बिंदु के दाईं ओर (या बाईं ओर) पहला छोटा चाप बनाएं।कम्पास समाधान बढ़ाएँ. कम्पास सुई को बिंदु E 8 पर रखें इस बिंदु के दाईं ओर (या बाईं ओर) दूसरा छोटा चाप बनाएं।कंपास समाधान न बदलें. कम्पास सुई को बिंदु F9 पर स्थापित करें दो चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु और दिए गए बिंदु से होकर एक रेखा खींचें।परिणामी सीधी रेखा सीधी रेखा n के लंबवत होगी। इस प्रकार, परिणामी सीधी रेखा दी गई सीधी रेखा m के समानांतर है

   2 एक समचतुर्भुज का निर्माण

   1. 1 इस पंक्ति और इस बिंदु को लेबल करें।यह बिंदु इस रेखा पर स्थित नहीं है; सबसे अधिक संभावना है, यह रेखा के ऊपर या नीचे स्थित है। इस बिंदु को समचतुर्भुज का शीर्ष मानें। चूँकि एक समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, एक समचतुर्भुज का निर्माण करने से आपको एक समानांतर रेखा प्राप्त होगी।
      • हीरे का दूसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।कम्पास सुई को एक दिए गए बिंदु पर रखें और एक चाप बनाएं जो दी गई रेखा को एक बिंदु पर काटता है। कंपास समाधान न बदलें.
        • कम्पास के उद्घाटन की चौड़ाई महत्वपूर्ण नहीं है - मुख्य बात एक चाप खींचना है जो किसी भी बिंदु पर दी गई सीधी रेखा को काट देगा।
        • एक चाप बनाएं ताकि वह न केवल इस रेखा को प्रतिच्छेद करे, बल्कि इस बिंदु के ठीक ऊपर भी जाए।
        • उदाहरण के लिए, कम्पास सुई को बिंदु A 3 पर सेट करें हीरे का तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।कम्पास के कोण को बदले बिना, इसकी सुई को दूसरे शीर्ष पर स्थापित करें और एक चाप खींचें जो इस रेखा को एक नए बिंदु पर काटता है। कंपास समाधान न बदलें.
          • एक छोटा चाप बनाएं ताकि वह केवल इस रेखा को प्रतिच्छेद करे।
          • उदाहरण के लिए, कंपास सुई को बिंदु बी 4 पर सेट करें हीरे का चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।कम्पास के कोण को बदले बिना, इसकी सुई को तीसरे शीर्ष पर स्थापित करें और एक चाप बनाएं जो पहले चाप को काटता है (जिसे आपने इस बिंदु पर कम्पास सुई स्थापित करके खींचा था, और जिसकी मदद से आपको दूसरा शीर्ष मिला था)।
            • एक छोटा चाप बनाएं ताकि वह केवल पहले चाप को प्रतिच्छेद करे।
            • उदाहरण के लिए, कम्पास सुई को बिंदु C5 पर सेट करें समचतुर्भुज के पहले और चौथे शीर्ष से होकर एक रेखा खींचिए।यह रेखा किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है और दी गई रेखा के समानांतर होती है, क्योंकि ये रेखाएँ एक समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ होती हैं।
              • उदाहरण के लिए, बिंदु A से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा

                3 संगत कोणों का निर्माण

                1. 1 इस पंक्ति और इस बिंदु को लेबल करें।यह बिंदु इस रेखा पर स्थित नहीं है; सबसे अधिक संभावना है, यह रेखा के ऊपर या नीचे स्थित है।
                   • यदि सीधी रेखा और बिंदु अभी तक चिह्नित नहीं हैं, तो भ्रम से बचने के लिए ऐसा करें।
                   • उदाहरण के लिए, इस रेखा को m 2 के रूप में निरूपित करें किसी दिए गए बिंदु और किसी दिए गए रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से होकर एक रेखा खींचें।ऐसी छेदक रेखा का उपयोग करके, आप संगत कोण बना सकते हैं, और फिर एक समानांतर रेखा खींच सकते हैं।
                     • एक लंबी छेदक रेखा खींचिए ताकि वह दिए गए बिंदु से आगे जाए।
                     • उदाहरण के लिए, बिंदु A 3 के माध्यम से एक कम्पास ले लो.कम्पास खोलने की चौड़ाई को परिणामी खंड की लंबाई से आधे से कम बनाएं।
                       • कम्पास उद्घाटन की सटीक चौड़ाई कोई मायने नहीं रखती - मुख्य बात यह है कि यह परिणामी खंड की लंबाई के आधे से भी कम है।
                       • उदाहरण के लिए, कंपास के उद्घाटन की चौड़ाई को खंड A B 4 की लंबाई के आधे से कम बनाएं पहले कोने का निर्माण करें.कम्पास सुई को दी गई रेखा के साथ छेदक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु पर रखें। एक चाप खींचिए जो छेदक रेखा और दी गई रेखा को काटता है। कंपास समाधान न बदलें.
                         • उदाहरण के लिए, कंपास सुई को बिंदु बी 5 पर सेट करें दूसरा चाप बनाएं.कम्पास के समाधान को बदले बिना, इसकी सुई को इस बिंदु पर स्थापित करें। एक चाप बनाएं जो दिए गए बिंदु के ऊपर छेदक रेखा को काटता है और दिए गए बिंदु के ठीक नीचे जाता है।
                           • उदाहरण के लिए, कम्पास सुई को बिंदु A 6 पर सेट करें एक कम्पास ले लो.कम्पास के उद्घाटन की चौड़ाई को निर्मित (पहले) कोण की चौड़ाई के बराबर बनाएं।
                             • उदाहरण के लिए, निर्मित कोण कोण C B D 7 है संगत कोण की रचना कीजिए।कम्पास का उद्घाटन पहले कोने की चौड़ाई के बराबर होना चाहिए। कम्पास सुई को उस बिंदु पर रखें जो इस बिंदु के ऊपर छेदक रेखा पर स्थित है, और एक चाप खींचें जो दूसरे चाप को काटता है।
                               • उदाहरण के लिए, कम्पास सुई को बिंदु P 8 पर सेट करें इस बिंदु और दो चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर एक रेखा खींचें।यह रेखा दी गई रेखा के समानांतर है और दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है।
                                 • उदाहरण के लिए, बिंदु A (डिस्प्लेस्टाइल A) और बिंदु Q (डिस्प्लेस्टाइल Q) से होकर एक रेखा खींचें। परिणाम एक सीधी रेखा f (डिस्प्लेस्टाइल f) एक सीधी रेखा m (डिस्प्लेस्टाइल m) के समानांतर है।

                तुम क्या आवश्यकता होगी

                1. कलम या पेंसिल
                2. शासक
                3. दिशा सूचक यंत्र