कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना कैसे करें. विश्वास अंतराल। व्यावहारिक सिग्मा मान भी

आइए ज्ञात फैलाव मूल्य के मामले में वितरण के औसत मूल्य का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

बेशक चुनाव विश्वास का स्तरपूरी तरह से समस्या के समाधान पर निर्भर करता है। इस प्रकार, हवाई जहाज की विश्वसनीयता में एक हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री निस्संदेह एक विद्युत प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

समस्या सूत्रीकरण

चलिए मान लेते हैं कि से जनसंख्यालिया जा चुका है नमूनाआकार एन. यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर यह जरूरी है नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत रचना कीजिए दोहरा विश्वास अंतराल.

बिंदु लागत

जैसा कि ज्ञात है आंकड़े(आइए इसे निरूपित करें एक्स औसत) है माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह जनसंख्याऔर इसका वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: यदि आपको निर्माण करने की आवश्यकता है तो क्या करें? विश्वास अंतरालवितरण के मामले में क्या नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो बताता है कि पर्याप्त बड़े आकार के साथ नमूने n वितरण से नहीं बनना सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण X औसतइच्छा लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर N(μ;σ 2 /n) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत औसत वितरण मूल्यहमारे पास है - यह नमूना माध्य, अर्थात। एक्स औसत. अब चलिए शुरू करते हैं विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानकर, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि यादृच्छिक चर हमारे द्वारा निर्दिष्ट अंतराल से एक मान लेगा। अब आइए इसके विपरीत करें: उस अंतराल को ढूंढें जिसमें यादृच्छिक चर किसी दी गई संभावना के साथ गिर जाएगा। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, लगभग +/- 2 से की सीमा के भीतर आएगा औसत मूल्य(इसके बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे लिए एक प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के आकार और उसके मापदंडों को इंगित करना होगा।

वितरण का स्वरूप हम जानते हैं - यह है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स औसत).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल इसका उपयोग करके अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका एक अनुमान है एक्स औसत,के आधार पर गणना की गई नमूने,जिसका उपयोग किया जा सकता है.

दूसरा पैरामीटर - नमूना माध्य का मानक विचलन हम इसे ज्ञात मानेंगे, यह σ/√n के बराबर है।

क्योंकि हम μ नहीं जानते, तो हम अंतराल +/- 2 बनाएंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, और इसके ज्ञात अनुमान से एक्स औसत. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम ऐसा नहीं मानेंगे एक्स औसत+/- 2 की सीमा के अंतर्गत आता है मानक विचलन 95% की संभावना के साथ μ से, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 है मानक विचलनसे एक्स औसत 95% संभावना के साथ यह μ को कवर करेगा – सामान्य जनसंख्या का औसत,जिससे यह लिया गया है नमूना. ये दोनों कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, आइए अंतराल को स्पष्ट करें: एक यादृच्छिक चर वितरित किया गया सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट अंतराल.

अब हम एक संभाव्य कथन तैयार कर सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित है नमूना औसत 1,960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर"।

कथन में उल्लिखित संभाव्यता मान का एक विशेष नाम है , जिससे सम्बंधित हैएक सरल अभिव्यक्ति द्वारा महत्व स्तर α (अल्फा)। विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में महत्वपूर्ण स्तर α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम गणना के लिए एक अभिव्यक्ति लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Z α/2 – मानक सामान्य वितरण(यादृच्छिक चर का यह मान जेड, क्या पी(जेड>=जेड α/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-मात्राचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालवी मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-मात्रा मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से अधिक, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 के साथ, ऊपरी α/2-मात्रा 1.960 के बराबर है। अन्य महत्व स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-मात्रा जेड α/2 सूत्र =NORM.ST.REV(1-α/2) या, यदि ज्ञात हो, का उपयोग करके गणना की जा सकती है विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+विश्वास स्तर)/2).

आमतौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्रात्मकऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रात्मक. ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि मानक सामान्य वितरण x अक्ष के बारे में सममित रूप से ( इसका वितरण घनत्वके बारे में सममित औसत, यानी 0). इसलिए गणना करने की कोई जरूरत नहीं है निचला α/2-मात्रा(इसे बस α कहा जाता है /2-मात्रात्मक), क्योंकि यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रात्मकऋण चिह्न के साथ.

आइए हम याद करें कि, मान x के वितरण के आकार के बावजूद, संगत यादृच्छिक चर एक्स औसतवितरित लगभग अच्छा N(μ;σ 2 /n) (इसके बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल एक अनुमान है. यदि मान x को वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), फिर के लिए अभिव्यक्ति विश्वास अंतरालसही है।

MS EXCEL में कॉन्फिडेंस अंतराल गणना

आइए समस्या का समाधान करें.
इनपुट सिग्नल के लिए इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय डिवाइस की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर 95% के आत्मविश्वास स्तर पर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना चाहता है। पिछले अनुभव से, इंजीनियर जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि प्रतिक्रिया समय का मूल्यांकन करने के लिए, इंजीनियर ने 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

समाधान: एक इंजीनियर किसी इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय एक निश्चित मान नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण होता है। इसलिए, वह जो सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करना है।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से हम प्रतिक्रिया समय वितरण के आकार को नहीं जानते हैं (ऐसा होना जरूरी नहीं है)। सामान्य). , यह वितरण भी अज्ञात है। वही तो जाना जाता है मानक विचलनσ=8. इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना और निर्माण नहीं कर सकते विश्वास अंतराल.

हालाँकि, इस तथ्य के बावजूद कि हम वितरण को नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम उसके अनुसार जानते हैं सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (n=25)) .

इसके अतिरिक्त, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यएकल प्रतिक्रिया का वितरण, अर्थात μ. ए मानक विचलनइस वितरण की गणना (σ/√n) सूत्र =8/ROOT(25) का उपयोग करके की जा सकती है।

यह भी ज्ञात हुआ कि इंजीनियर को प्राप्त हुआ बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 एमएस (एक्स औसत) के बराबर। इसलिए, अब हम संभावनाओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण का स्वरूप जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (X avg और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यμ प्रतिक्रिया समय वितरण। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह μ के बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की गणितीय अपेक्षा. अगर हम उपयोग करते हैं सामान्य वितरण N(X avg; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

महत्वपूर्ण स्तर 1-0.95=0.05 के बराबर है।

अंत में, आइए बाएँ और दाएँ बॉर्डर खोजें विश्वास अंतराल.
बाईं सीमा: =78-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/रूट(25) = 74,864
दाहिनी सीमा: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/रूट(25)=81.136

बाईं सीमा: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/रूट(25))
दाहिनी सीमा: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/रूट(25))

उत्तर: विश्वास अंतरालपर 95% आत्मविश्वास स्तर और σ=8मिसेके बराबर होती है 78+/-3.136 एमएस.

में सिग्मा शीट पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात, गणना और निर्माण के लिए एक प्रपत्र बनाया दोहरा विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए σ और के साथ स्तर का महत्व.

कॉन्फिडेंस.नॉर्म() फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेके दायरे में हैं बी20:बी79 , ए महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के बराबर; फिर MS Excel सूत्र:
=औसत(बी20:बी79)-आत्मविश्वास.मानदंड(0.05;σ; गिनती(बी20:बी79))
बाईं सीमा वापस कर देंगे विश्वास अंतराल.

उसी सीमा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
=औसत(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/रूट(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: CONFIDENCE.NORM() फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करणों में, TRUST() फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था।

कॉन्स्टेंटिन क्रावचिक स्पष्ट रूप से बताते हैं कि चिकित्सा अनुसंधान में आत्मविश्वास अंतराल क्या है और इसका उपयोग कैसे करें

"कैटरेन-स्टाइल" चिकित्सा सांख्यिकी पर कॉन्स्टेंटिन क्रावचिक की श्रृंखला का प्रकाशन जारी रखता है। पिछले दो लेखों में, लेखक ने और जैसी अवधारणाओं की व्याख्या की है।

कॉन्स्टेंटिन क्रावचिक

गणितज्ञ-विश्लेषक. चिकित्सा और मानविकी में सांख्यिकीय अनुसंधान में विशेषज्ञ

मास्को शहर

अक्सर नैदानिक ​​​​अध्ययनों पर लेखों में आप एक रहस्यमय वाक्यांश पा सकते हैं: "आत्मविश्वास अंतराल" (95 % सीआई या 95 % सीआई - आत्मविश्वास अंतराल)। उदाहरण के लिए, एक लेख लिख सकता है: "मतभेदों के महत्व का आकलन करने के लिए, 95 % आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के लिए छात्र के टी-टेस्ट का उपयोग किया गया था।"

"95 % विश्वास अंतराल" का मूल्य क्या है और इसकी गणना क्यों करें?

कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है? - यह वह सीमा है जिसके भीतर सच्ची जनसंख्या का मतलब झूठ होता है। क्या कोई "असत्य" औसत हैं? एक अर्थ में, हाँ, वे करते हैं। हमने समझाया कि संपूर्ण जनसंख्या में रुचि के पैरामीटर को मापना असंभव है, इसलिए शोधकर्ता सीमित नमूने से संतुष्ट हैं। इस नमूने में (उदाहरण के लिए, शरीर के वजन के आधार पर) एक औसत मूल्य (एक निश्चित वजन) होता है, जिसके द्वारा हम पूरी आबादी में औसत मूल्य का आकलन करते हैं। हालाँकि, यह संभावना नहीं है कि किसी नमूने (विशेष रूप से छोटे) में औसत वजन सामान्य आबादी के औसत वजन के साथ मेल खाएगा। इसलिए, जनसंख्या के औसत मूल्यों की सीमा की गणना और उपयोग करना अधिक सही है।

उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि हीमोग्लोबिन के लिए 95% आत्मविश्वास अंतराल (95% सीआई) 110 से 122 ग्राम/लीटर है। इसका मतलब यह है कि 95% संभावना है कि जनसंख्या में वास्तविक औसत हीमोग्लोबिन मान 110 और 122 ग्राम/लीटर के बीच होगा। दूसरे शब्दों में, हम जनसंख्या में औसत हीमोग्लोबिन मान नहीं जानते हैं, लेकिन हम 95 % संभावना के साथ, इस विशेषता के लिए मूल्यों की एक श्रृंखला का संकेत दे सकते हैं।

कॉन्फिडेंस अंतराल विशेष रूप से समूहों के बीच साधनों में अंतर, या प्रभाव आकार, जैसा कि उन्हें कहा जाता है, के लिए प्रासंगिक हैं।

मान लीजिए कि हमने दो लौह तैयारियों की प्रभावशीलता की तुलना की: एक जो लंबे समय से बाजार में है और एक जो अभी पंजीकृत हुई है। चिकित्सा के पाठ्यक्रम के बाद, हमने रोगियों के अध्ययन किए गए समूहों में हीमोग्लोबिन एकाग्रता का आकलन किया, और सांख्यिकीय कार्यक्रम ने गणना की कि दोनों समूहों के औसत मूल्यों के बीच का अंतर, 95 % संभावना के साथ, 1.72 से लेकर 14.36 ग्राम/लीटर (तालिका 1)।

मेज़ 1. स्वतंत्र नमूनों का परीक्षण करें
(समूहों की तुलना हीमोग्लोबिन स्तर से की जाती है)

इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए: सामान्य आबादी के कुछ मरीज़ जो नई दवा लेते हैं, उनमें हीमोग्लोबिन उन लोगों की तुलना में औसतन 1.72-14.36 ग्राम/लीटर अधिक होगा, जिन्होंने पहले से ज्ञात दवा ली थी।

दूसरे शब्दों में, सामान्य आबादी में, समूहों के बीच औसत हीमोग्लोबिन मूल्यों में अंतर 95% संभावना के साथ इन सीमाओं के भीतर है। यह शोधकर्ता पर निर्भर करेगा कि वह यह तय करे कि यह बहुत है या थोड़ा। इस सबका मुद्दा यह है कि हम एक औसत मूल्य के साथ काम नहीं कर रहे हैं, बल्कि मूल्यों की एक श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए, हम समूहों के बीच एक पैरामीटर में अंतर का अधिक विश्वसनीय रूप से अनुमान लगाते हैं।

सांख्यिकीय पैकेजों में, शोधकर्ता के विवेक पर, आप आत्मविश्वास अंतराल की सीमाओं को स्वतंत्र रूप से संकीर्ण या विस्तारित कर सकते हैं। विश्वास अंतराल संभावनाओं को कम करके, हम साधनों की सीमा को सीमित करते हैं। उदाहरण के लिए, 90 % CI पर साधनों की सीमा (या साधनों में अंतर) 95 % से कम होगी।

इसके विपरीत, संभावना को 99 % तक बढ़ाने से मूल्यों की सीमा का विस्तार होता है। समूहों की तुलना करते समय, सीआई की निचली सीमा शून्य अंक को पार कर सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हमने विश्वास अंतराल की सीमाओं को 99 % तक विस्तारित किया, तो अंतराल की सीमाएं -1 से 16 ग्राम/लीटर तक थीं। इसका मतलब यह है कि सामान्य आबादी में ऐसे समूह होते हैं, जिनके बीच अध्ययन की जा रही विशेषता के बीच का अंतर 0 (एम = 0) के बराबर होता है।

आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके, आप सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण कर सकते हैं। यदि विश्वास अंतराल शून्य मान को पार कर जाता है, तो शून्य परिकल्पना, जो मानती है कि समूह अध्ययन किए जा रहे पैरामीटर पर भिन्न नहीं हैं, सत्य है। उदाहरण ऊपर वर्णित है जहां हमने सीमाओं को 99 % तक विस्तारित किया है। सामान्य आबादी में कहीं-कहीं हमें ऐसे समूह मिले जो किसी भी तरह से भिन्न नहीं थे।

हीमोग्लोबिन में अंतर का 95% आत्मविश्वास अंतराल, (जी/एल)

यह आंकड़ा दो समूहों के बीच औसत हीमोग्लोबिन मूल्यों में अंतर के लिए 95% विश्वास अंतराल दिखाता है। रेखा शून्य चिह्न से होकर गुजरती है, इसलिए शून्य के माध्य में अंतर होता है, जो शून्य परिकल्पना की पुष्टि करता है कि समूहों में अंतर नहीं है। समूहों के बीच अंतर की सीमा -2 से 5 ग्राम/लीटर तक है। इसका मतलब है कि हीमोग्लोबिन या तो 2 ग्राम/लीटर तक घट सकता है या 5 ग्राम/लीटर तक बढ़ सकता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल एक बहुत ही महत्वपूर्ण संकेतक है। इसके लिए धन्यवाद, आप देख सकते हैं कि समूहों में अंतर वास्तव में साधनों में अंतर के कारण था या बड़े नमूने के कारण, क्योंकि बड़े नमूने में अंतर खोजने की संभावना छोटे नमूने की तुलना में अधिक होती है।

व्यवहार में यह इस तरह दिख सकता है. हमने 1000 लोगों का एक नमूना लिया, हीमोग्लोबिन के स्तर को मापा और पाया कि साधनों में अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल 1.2 से 1.5 ग्राम/लीटर तक था। इस मामले में सांख्यिकीय महत्व का स्तर पी

हम देखते हैं कि हीमोग्लोबिन एकाग्रता में वृद्धि हुई है, लेकिन लगभग अगोचर रूप से, इसलिए, नमूना आकार के कारण सांख्यिकीय महत्व सटीक रूप से दिखाई दिया।

कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना न केवल साधनों के लिए की जा सकती है, बल्कि अनुपात (और जोखिम अनुपात) के लिए भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, हम उन रोगियों के अनुपात के विश्वास अंतराल में रुचि रखते हैं जिन्होंने एक विकसित दवा लेते समय छूट प्राप्त की। आइए मान लें कि अनुपात के लिए 95 % सीआई, यानी ऐसे रोगियों के अनुपात के लिए, 0.60–0.80 की सीमा में है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि हमारी दवा 60 से 80 % मामलों में चिकित्सीय प्रभाव डालती है।

संभावनाओं, नमूना विशेषताओं के आधार पर सामान्य मापदंडों को आत्मविश्वास से आंकने के लिए पर्याप्त माना जाता है, कहा जाता है पर भरोसा .

आमतौर पर, 0.95 के मानों को आत्मविश्वास संभावनाओं के रूप में चुना जाता है; 0.99; 0.999 (वे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किए जाते हैं - 95%, 99%, 99.9%)। जिम्मेदारी का माप जितना अधिक होगा, आत्मविश्वास का स्तर उतना ही अधिक होगा: 99% या 99.9%।

शारीरिक शिक्षा और खेल के क्षेत्र में वैज्ञानिक अनुसंधान में 0.95 (95%) का आत्मविश्वास स्तर पर्याप्त माना जाता है।

वह अंतराल जिसमें सामान्य जनसंख्या का नमूना अंकगणितीय माध्य एक निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ स्थित होता है, कहलाता है विश्वास अंतराल .

मूल्यांकन महत्व स्तर- एक छोटी संख्या α, जिसका मान इस संभावना का सुझाव देता है कि यह विश्वास अंतराल के बाहर आती है। आत्मविश्वास संभावनाओं के अनुसार: α 1 = (1-0.95) = 0.05; α 2 = (1 – 0.99) = 0.01, आदि।

माध्य के लिए विश्वास अंतराल (गणितीय अपेक्षा) एसामान्य वितरण:

,

मूल्यांकन की विश्वसनीयता (विश्वास संभावना) कहां है; - नमूना औसत; एस - सही मानक विचलन; n - नमूना आकार; t γ दिए गए n और γ के लिए छात्र वितरण तालिका (परिशिष्ट, तालिका 1 देखें) से निर्धारित एक मान है।

जनसंख्या माध्य के विश्वास अंतराल की सीमाएँ ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. गणना करें और एस.

2. आपको अनुमान का आत्मविश्वास स्तर (विश्वसनीयता) γ 0.95 (95%) या महत्व स्तर α से 0.05 (5%) निर्धारित करना चाहिए

3. टी-छात्र वितरण तालिका (परिशिष्ट, तालिका 1) का उपयोग करके, सीमा मान टी खोजें।

चूँकि t वितरण शून्य बिंदु के आसपास सममित है, इसलिए t का केवल सकारात्मक मान जानना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि नमूना आकार n=16 है, तो स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या डीएफ) टी– वितरण डीएफ=16 - 1=15 . तालिका के अनुसार 1 अनुप्रयोग टी 0.05 = 2.13 .

4. α = 0.05 और के लिए विश्वास अंतराल की सीमा ज्ञात कीजिएएन = 16:

विश्वास की सीमाएँ:

बड़े नमूना आकारों के लिए (n ≥ 30) t - विद्यार्थी वितरण सामान्य हो जाता है। इसलिए, के लिए विश्वास अंतराल n ≥ 30 के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ यू- सामान्यीकृत सामान्य वितरण के प्रतिशत अंक।

मानक आत्मविश्वास संभावनाओं के लिए (95%, 99%; 99.9%) और महत्व स्तर α मान ( यू) तालिका 8 में दिए गए हैं।

तालिका 8

मानक आत्मविश्वास स्तर α के लिए मान

उदाहरण 1 में दिए गए डेटा के आधार पर, हम 95% की सीमाएँ निर्धारित करेंगे विश्वास अंतराल (α = 0.05) औसत स्थायी छलांग परिणाम के लिए।हमारे उदाहरण में, नमूना आकार n = 65 है, तो बड़े नमूना आकार के लिए अनुशंसाओं का उपयोग विश्वास अंतराल की सीमाओं को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

इस लेख से आप सीखेंगे:

क्या हुआ है विश्वास अंतराल?

क्या बात है 3 सिग्मा नियम?

आप इस ज्ञान को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं?

आजकल, उत्पादों, बिक्री दिशाओं, कर्मचारियों, गतिविधि के क्षेत्रों आदि के एक बड़े वर्गीकरण से जुड़ी जानकारी की अधिकता के कारण, मुख्य बात को उजागर करना कठिन हो सकता है, जो, सबसे पहले, ध्यान देने और प्रबंधित करने के प्रयास करने लायक है। परिभाषा विश्वास अंतरालऔर इसकी सीमाओं से परे जाकर वास्तविक मूल्यों का विश्लेषण - एक तकनीक जो आपको स्थितियों को उजागर करने में मदद मिलेगी, बदलते रुझानों को प्रभावित करना।आप सकारात्मक कारकों को विकसित करने और नकारात्मक कारकों के प्रभाव को कम करने में सक्षम होंगे। इस तकनीक का इस्तेमाल कई जानी-मानी वैश्विक कंपनियों में किया जाता है।

तथाकथित हैं " अलर्ट", कौन प्रबंधकों को सूचित करेंकि अगला मान एक निश्चित दिशा में है परे चला गया विश्वास अंतराल. इसका अर्थ क्या है? यह एक संकेत है कि कोई असामान्य घटना घटी है, जो इस दिशा में मौजूदा रुझान को बदल सकती है। यह एक संकेत हैउस के लिए पता लगाने के लिएस्थिति में और समझें कि किस चीज़ ने इसे प्रभावित किया।

उदाहरण के लिए, कई स्थितियों पर विचार करें. हमने 2011 के लिए 100 उत्पाद वस्तुओं के लिए महीने के हिसाब से और मार्च में वास्तविक बिक्री के पूर्वानुमान सीमा के साथ बिक्री पूर्वानुमान की गणना की:

1. "सूरजमुखी तेल" के लिए उन्होंने पूर्वानुमान की ऊपरी सीमा तोड़ दी और विश्वास अंतराल में नहीं आए।
2. "सूखा खमीर" के लिए हमने पूर्वानुमान की निचली सीमा पार कर ली है।
3. "दलिया दलिया" ऊपरी सीमा को तोड़ चुका है।

अन्य उत्पादों के लिए, वास्तविक बिक्री दी गई पूर्वानुमान सीमा के भीतर थी। वे। उनकी बिक्री उम्मीदों के अनुरूप थी। इसलिए, हमने 3 उत्पादों की पहचान की जो सीमाओं से परे चले गए और यह पता लगाना शुरू किया कि किस चीज़ ने उन्हें सीमाओं से परे जाने के लिए प्रभावित किया:

1. सूरजमुखी तेल के लिए, हमने एक नए वितरण नेटवर्क में प्रवेश किया, जिससे हमें अतिरिक्त बिक्री की मात्रा मिली, जिसके कारण हम ऊपरी सीमा से आगे निकल गए। इस उत्पाद के लिए, इस नेटवर्क के बिक्री पूर्वानुमान को ध्यान में रखते हुए, वर्ष के अंत तक पूर्वानुमान की पुनर्गणना करना उचित है।
2. "ड्राई यीस्ट" के लिए कार सीमा शुल्क में फंस गई, और 5 दिनों के भीतर कमी हो गई, जिससे बिक्री में गिरावट आई और निचली सीमा पार हो गई। यह पता लगाना सार्थक हो सकता है कि इसका कारण क्या है और इस स्थिति को दोबारा न दोहराने का प्रयास करें।
3. ओटमील दलिया के लिए एक बिक्री प्रोत्साहन कार्यक्रम शुरू किया गया, जिससे बिक्री में उल्लेखनीय वृद्धि हुई और कंपनी पूर्वानुमान से आगे निकल गई।

हमने तीन कारकों की पहचान की है जो पूर्वानुमान सीमा से आगे जाने को प्रभावित करते हैं। जीवन में पूर्वानुमान और योजना की सटीकता बढ़ाने के लिए, ऐसे कारक जो इस तथ्य को जन्म देते हैं कि वास्तविक बिक्री पूर्वानुमान सीमा से आगे जा सकती है, उनके लिए अलग से पूर्वानुमान और योजनाएँ बनाना और उजागर करना उचित है। और फिर मुख्य बिक्री पूर्वानुमान पर उनके प्रभाव पर विचार करें। आप नियमित रूप से इन कारकों के प्रभाव का आकलन भी कर सकते हैं और स्थिति को बेहतरी के लिए बदल सकते हैं। नकारात्मक कारकों के प्रभाव को कम करके और सकारात्मक कारकों के प्रभाव को बढ़ाकर.

आत्मविश्वास अंतराल के साथ हम यह कर सकते हैं:

1. दिशानिर्देश चुनें, जिन पर ध्यान देने योग्य है, क्योंकि इन दिशाओं में ऐसी घटनाएँ घटी हैं जो प्रभावित कर सकती हैं प्रवृत्ति में परिवर्तन.
2. कारकों को पहचानें, जो वास्तव में स्थिति में बदलाव को प्रभावित करते हैं।
3. स्वीकार करना सूचित निर्णय(उदाहरण के लिए, खरीदारी, योजना आदि के बारे में)।

अब आइए देखें कि कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है और एक उदाहरण का उपयोग करके एक्सेल में इसकी गणना कैसे करें।

कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

कॉन्फिडेंस अंतराल पूर्वानुमान सीमाएँ (ऊपरी और निचली) है, जिसके भीतर दी गई प्रायिकता (सिग्मा) के साथवास्तविक मान दिखाई देंगे.

वे। हम पूर्वानुमान की गणना करते हैं - यह हमारा मुख्य दिशानिर्देश है, लेकिन हम समझते हैं कि वास्तविक मान हमारे पूर्वानुमान के 100% बराबर होने की संभावना नहीं है। और सवाल उठता है, किन सीमाओं के भीतरवास्तविक मूल्य गिर सकते हैं, यदि वर्तमान प्रवृत्ति जारी रहती है? और यह प्रश्न हमें उत्तर देने में मदद करेगा आत्मविश्वास अंतराल गणना, अर्थात। - पूर्वानुमान की ऊपरी और निचली सीमाएँ।

दी गई संभाव्यता सिग्मा क्या है?

गणना करते समयआत्मविश्वास अंतराल हम कर सकते हैं संभाव्यता निर्धारित करें एचआईटीएसवास्तविक मूल्य दी गई पूर्वानुमान सीमा के भीतर. इसे कैसे करना है? ऐसा करने के लिए, हम सिग्मा का मान निर्धारित करते हैं और, यदि सिग्मा इसके बराबर है:

3 सिग्मा- फिर, विश्वास अंतराल में आने वाले अगले वास्तविक मूल्य की संभावना 99.7%, या 300 से 1 होगी, या सीमाओं से परे जाने की 0.3% संभावना है।

2 सिग्मा- तो, ​​सीमाओं के भीतर अगले मान के गिरने की संभावना ≈ 95.5% है, यानी। संभावना लगभग 20 से 1 है, या अति हो जाने की 4.5% संभावना है।

1 सिग्मा- तो संभावना ≈ 68.3% है, अर्थात। संभावनाएँ लगभग 2 से 1 हैं, या 31.7% संभावना है कि अगला मान विश्वास अंतराल से बाहर हो जाएगा।

हमने तैयार किया 3 सिग्मा नियम,जो ऐसा कहता है हिट संभावनाएक और यादृच्छिक मूल्य विश्वास अंतराल मेंकिसी दिए गए मान के साथ थ्री सिग्मा 99.7% है.

महान रूसी गणितज्ञ चेबीशेव ने इस प्रमेय को सिद्ध किया कि तीन सिग्मा के दिए गए मान के साथ पूर्वानुमान सीमा से आगे जाने की 10% संभावना है। वे। 3-सिग्मा विश्वास अंतराल के भीतर आने की संभावना कम से कम 90% होगी, जबकि पूर्वानुमान और उसकी सीमाओं की "आंख से" गणना करने का प्रयास बहुत अधिक महत्वपूर्ण त्रुटियों से भरा है।

एक्सेल में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना स्वयं कैसे करें?

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके एक्सेल में विश्वास अंतराल (यानी, पूर्वानुमान की ऊपरी और निचली सीमाएं) की गणना देखें। हमारे पास एक समय श्रृंखला है - 5 वर्षों के लिए महीने के हिसाब से बिक्री। संलग्न फाइल देख।

पूर्वानुमान सीमा की गणना करने के लिए, हम गणना करते हैं:

1. बिक्री पूर्वानुमान().
2. सिग्मा - मानक विचलनवास्तविक मूल्यों से पूर्वानुमान मॉडल।
3. तीन सिग्मा.
4. विश्वास अंतराल।

1. बिक्री पूर्वानुमान.

=(आरसी[-14] (समय श्रृंखला डेटा)- आरसी[-1] (मॉडल मूल्य))^2(वर्ग)

3. प्रत्येक माह के लिए, आइए चरण 8 Sum((Xi-Ximod)^2) से विचलन मानों का योग करें, अर्थात। आइए प्रत्येक वर्ष के लिए जनवरी, फरवरी... का सारांश निकालें।

ऐसा करने के लिए, सूत्र =SUMIF() का उपयोग करें

SUMIF (चक्र के अंदर अवधि संख्याओं के साथ सरणी (1 से 12 महीनों के लिए); चक्र में अवधि संख्या से लिंक; स्रोत डेटा और अवधि मानों के बीच अंतर के वर्गों के साथ एक सरणी से लिंक)

4. चक्र में 1 से 12 तक प्रत्येक अवधि के लिए मानक विचलन की गणना करें (चरण 10) संलग्न फाइल में).

ऐसा करने के लिए, हम चरण 9 में गणना किए गए मान से मूल निकालते हैं और इस चक्र में अवधियों की संख्या से विभाजित करते हैं माइनस 1 = SQRT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

आइए Excel =ROOT(R8) में सूत्रों का उपयोग करें ((Sum(Xi-Ximod)^2 से लिंक)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (चक्र संख्या के साथ सरणी से लिंक); O8 (एक विशिष्ट चक्र संख्या से लिंक करें जिसे हम सरणी में गिनते हैं))-1))

एक्सेल सूत्र = COUNTIF का उपयोग करनाहम संख्या n गिनते हैं

पूर्वानुमान मॉडल से वास्तविक डेटा के मानक विचलन की गणना करने के बाद, हमने प्रत्येक माह के लिए सिग्मा मान प्राप्त किया - चरण 10 संलग्न फाइल में ।

3. आइए 3 सिग्मा की गणना करें।

चरण 11 पर हम सिग्मा की संख्या निर्धारित करते हैं - हमारे उदाहरण में "3" (चरण 11 संलग्न फाइल में):

अभ्यास के लिए भी सुविधाजनक सिग्मा मान:

1.64 सिग्मा - सीमा पार करने की 10% संभावना (10 में 1 मौका);

1.96 सिग्मा - सीमा से परे जाने की 5% संभावना (20 में 1 मौका);

2.6 सिग्मा - सीमा पार करने की 1% संभावना (100 में 1 संभावना)।

5) तीन सिग्मा की गणना, इसके लिए हम प्रत्येक माह के लिए "सिग्मा" मान को "3" से गुणा करते हैं।

3. विश्वास अंतराल निर्धारित करें.

1. ऊपरी पूर्वानुमान सीमा- वृद्धि और मौसमी + (प्लस) 3 सिग्मा को ध्यान में रखते हुए बिक्री पूर्वानुमान;
2. कम पूर्वानुमान सीमा- वृद्धि और मौसमी को ध्यान में रखते हुए बिक्री का पूर्वानुमान - (माइनस) 3 सिग्मा;

लंबी अवधि के लिए विश्वास अंतराल की गणना की सुविधा के लिए (संलग्न फ़ाइल देखें), हम एक्सेल सूत्र का उपयोग करेंगे =Y8+VLOOKUP(W8,$U$8:$V$19,2,0), कहाँ

Y8- बिक्री पूर्वानुमान;

W8- उस महीने की संख्या जिसके लिए हम 3-सिग्मा मान लेंगे;

वे। ऊपरी पूर्वानुमान सीमा= "बिक्री पूर्वानुमान" + "3 सिग्मा" (उदाहरण में, VLOOKUP(माह संख्या; 3 सिग्मा मानों वाली तालिका; कॉलम जिसमें से हम संबंधित पंक्ति में माह संख्या के बराबर सिग्मा मान निकालते हैं; 0))।

कम पूर्वानुमान सीमा= "बिक्री पूर्वानुमान" शून्य से "3 सिग्मा"।

इसलिए, हमने एक्सेल में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना की।

अब हमारे पास एक पूर्वानुमान और सीमाओं के साथ एक सीमा है जिसके भीतर वास्तविक मान किसी दिए गए सिग्मा संभावना के साथ गिरेंगे।

इस लेख में, हमने देखा कि सिग्मा और थ्री-सिग्मा नियम क्या हैं, आत्मविश्वास अंतराल कैसे निर्धारित करें, और आप इस तकनीक का अभ्यास में उपयोग क्यों कर सकते हैं।

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विश्वास अंतराल ( अंग्रेज़ी विश्वास अंतराल) आँकड़ों में प्रयुक्त अंतराल अनुमानों के प्रकारों में से एक, जिनकी गणना किसी दिए गए महत्व स्तर के लिए की जाती है। वे हमें यह कथन करने की अनुमति देते हैं कि जनसंख्या के एक अज्ञात सांख्यिकीय पैरामीटर का वास्तविक मूल्य एक संभावना के साथ मूल्यों की प्राप्त सीमा के भीतर है जो सांख्यिकीय महत्व के चयनित स्तर द्वारा निर्दिष्ट है।

सामान्य वितरण

जब डेटा की जनसंख्या का विचरण (σ 2) ज्ञात होता है, तो z-स्कोर का उपयोग आत्मविश्वास सीमा (विश्वास अंतराल के अंतिम बिंदु) की गणना करने के लिए किया जा सकता है। टी-वितरण का उपयोग करने की तुलना में, ज़ेड-स्कोर का उपयोग करने से आप न केवल एक संकीर्ण आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण कर सकेंगे, बल्कि अपेक्षित मूल्य और मानक विचलन (σ) का अधिक विश्वसनीय अनुमान भी लगा सकेंगे, क्योंकि ज़ेड-स्कोर एक पर आधारित है। सामान्य वितरण।

FORMULA

विश्वास अंतराल के सीमा बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, बशर्ते कि डेटा की जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात हो, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है

उदाहरण

मान लें कि नमूना आकार 25 अवलोकन है, नमूना अपेक्षित मूल्य 15 है, और जनसंख्या मानक विचलन 8 है। α=5% के महत्व स्तर के लिए, Z-स्कोर Z α/2 =1.96 है। इस मामले में, विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएं होंगी

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 95% संभावना के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा 11.864 से 18.136 की सीमा में गिर जाएगी।

विश्वास अंतराल को कम करने के तरीके

आइए मान लें कि हमारे अध्ययन के उद्देश्यों के लिए सीमा बहुत व्यापक है। कॉन्फिडेंस इंटरवल की सीमा को कम करने के दो तरीके हैं।

1. सांख्यिकीय महत्व α का स्तर कम करें।
2. नमूना आकार बढ़ाएँ.

सांख्यिकीय महत्व के स्तर को α=10% तक कम करने पर, हमें Z α/2 =1.64 के बराबर Z-स्कोर प्राप्त होता है। इस स्थिति में, अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ होंगी

और आत्मविश्वास अंतराल को स्वयं इस प्रकार लिखा जा सकता है

इस मामले में, हम यह धारणा बना सकते हैं कि 90% संभावना के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा सीमा के भीतर आ जाएगी।

यदि हम चाहते हैं कि सांख्यिकीय महत्व α का स्तर कम न हो, तो नमूना आकार बढ़ाना ही एकमात्र विकल्प है। इसे 144 अवलोकनों तक बढ़ाने पर, हमें विश्वास सीमा के निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं

कॉन्फिडेंस इंटरवल का स्वयं निम्नलिखित रूप होगा

इस प्रकार, सांख्यिकीय महत्व के स्तर को कम किए बिना विश्वास अंतराल को कम करना केवल नमूना आकार को बढ़ाकर संभव है। यदि नमूना आकार बढ़ाना संभव नहीं है, तो सांख्यिकीय महत्व के स्तर को कम करके ही विश्वास अंतराल को कम किया जा सकता है।

सामान्य से भिन्न वितरण के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करना

यदि जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है या वितरण सामान्य से भिन्न है, तो टी-वितरण का उपयोग विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए किया जाता है। यह तकनीक अधिक रूढ़िवादी है, जो ज़ेड-स्कोर पर आधारित तकनीक की तुलना में व्यापक आत्मविश्वास अंतराल में परिलक्षित होती है।

FORMULA

टी-वितरण के आधार पर विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमा की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करें

छात्र वितरण या टी-वितरण केवल एक पैरामीटर पर निर्भर करता है - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, जो विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की संख्या (नमूने में टिप्पणियों की संख्या) के बराबर है। स्वतंत्रता की डिग्री (एन) की दी गई संख्या और सांख्यिकीय महत्व α के स्तर के लिए छात्र के टी-टेस्ट का मूल्य संदर्भ तालिकाओं में पाया जा सकता है।

उदाहरण

मान लें कि नमूना आकार 25 व्यक्तिगत मान है, नमूना अपेक्षित मूल्य 50 है, और नमूना मानक विचलन 28 है। सांख्यिकीय महत्व α=5% के स्तर के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है।

हमारे मामले में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 24 (25-1) है, इसलिए सांख्यिकीय महत्व α=5% के स्तर के लिए छात्र के टी-टेस्ट का संबंधित तालिका मूल्य 2.064 है। इसलिए, विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएं होंगी

और अंतराल को ही रूप में लिखा जा सकता है

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 95% संभावना के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा सीमा में होगी।

टी वितरण का उपयोग करने से आप सांख्यिकीय महत्व को कम करके या नमूना आकार को बढ़ाकर विश्वास अंतराल को कम कर सकते हैं।

हमारे उदाहरण की शर्तों के तहत सांख्यिकीय महत्व को 95% से घटाकर 90% करके, हम छात्र के टी-टेस्ट का संबंधित तालिका मान 1.711 प्राप्त करते हैं।

इस मामले में, हम कह सकते हैं कि 90% संभावना के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा सीमा में होगी।

यदि हम सांख्यिकीय महत्व को कम नहीं करना चाहते हैं, तो नमूना आकार बढ़ाना ही एकमात्र विकल्प है। मान लीजिए कि यह 64 व्यक्तिगत अवलोकन हैं, न कि 25, जैसा कि उदाहरण की मूल स्थिति में है। स्वतंत्रता की 63 डिग्री (64-1) और सांख्यिकीय महत्व के स्तर α=5% के लिए छात्र के टी-टेस्ट का तालिका मूल्य 1.998 है।

यह हमें यह कहने की अनुमति देता है कि 95% संभावना के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा सीमा में होगी।

बड़े नमूने

बड़े नमूने डेटा की आबादी से नमूने हैं जिनमें व्यक्तिगत अवलोकनों की संख्या 100 से अधिक है। सांख्यिकीय अध्ययनों से पता चला है कि बड़े नमूने सामान्य रूप से वितरित होते हैं, भले ही जनसंख्या का वितरण सामान्य न हो। इसके अलावा, ऐसे नमूनों के लिए, आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण करते समय जेड-स्कोर और टी-वितरण का उपयोग लगभग समान परिणाम देता है। इस प्रकार, बड़े नमूनों के लिए, टी-वितरण के बजाय सामान्य वितरण के लिए जेड-स्कोर का उपयोग करना स्वीकार्य है।

आइए इसे संक्षेप में बताएं