FORMULÁRIOS PARA ESPECIFICAÇÃO DA LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

FORMAS DE DEFINIÇÃO DA LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

1). Tabela de distribuição (linha) - a forma mais simples de especificar a lei de distribuição de variáveis ​​​​aleatórias discretas.

Já a tabela lista todos os valores possíveis da variável aleatória.

2). Polígono de distribuição . Ao representar graficamente uma série de distribuição em um sistema de coordenadas retangulares, todos os valores possíveis de uma variável aleatória são plotados ao longo do eixo das abcissas e as probabilidades correspondentes são plotadas ao longo do eixo das ordenadas. Em seguida, os pontos são desenhados e conectados por segmentos retos. A figura resultante - um polígono de distribuição - também é uma forma de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta.

3). Função de distribuição - a probabilidade de uma variável aleatória X assumir um valor menor que algum x dado, ou seja

.

Do ponto de vista geométrico, pode ser considerada como a probabilidade de atingir um ponto aleatório X para uma seção do eixo numérico localizada à esquerda de um ponto fixo X.

2) ; ;

Tarefa 2.1. Valor aleatório X- o número de acertos no alvo com 3 tiros (ver problema 1.5). Construa uma série de distribuição, um polígono de distribuição, calcule os valores da função de distribuição e construa seu gráfico.

Solução:

1) Série de distribuição de uma variável aleatória X apresentado na tabela

No	,
No	,
No	,
No
no	.

Traçando os valores no eixo das abcissas X, e ao longo do eixo das ordenadas - os valores e escolhendo uma determinada escala, obtemos um gráfico da função de distribuição (Fig. 2.2). A função de distribuição de uma variável aleatória discreta tem saltos (descontinuidades) nos pontos em que a variável aleatória X assume valores específicos especificados na tabela de distribuição. A soma de todos os saltos na função de distribuição é igual a um.

Arroz. 2.2 - Função de distribuição de um valor discreto

1). Função de distribuição .

Para uma variável aleatória contínua, o gráfico da função de distribuição (Fig. 2.3) tem a forma de uma curva suave.

Propriedades da função de distribuição:

c) se .

Arroz. 2.3 - Função de distribuição de um valor contínuo

2). Densidade de distribuição definido como derivada da função de distribuição, ou seja,

.

Curva que representa a densidade de distribuição de uma variável aleatória, chamado curva de distribuição (Fig. 2.4).

Propriedades de densidade:

e aqueles. a densidade é uma função não negativa;

b), ou seja área limitada curva de distribuição e o eixo x é sempre igual a 1.

Se todos os valores possíveis de uma variável aleatória X vai de a antes b, então a segunda propriedade da densidade terá a forma:

Arroz. 2.4 - Curva de distribuição

Na prática, muitas vezes é necessário saber a probabilidade de uma variável aleatória X assumirá um valor dentro de certos limites, por exemplo, de a a b. A probabilidade necessária para variável aleatória discreta X determinado pela fórmula

já que a probabilidade de qualquer valor individual de uma variável aleatória contínua é zero: .

Probabilidade de acertar uma variável aleatória contínua X ao intervalo (a,b) também é determinado pela expressão:

Problema 2.3. Valor aleatório X dado pela função de distribuição

Encontre a densidade, bem como a probabilidade de que o resultado do teste seja uma variável aleatória X assumirá o valor contido no intervalo.

Solução:

2. Probabilidade de acertar uma variável aleatória X no intervalo é determinado pela fórmula. Tomando e, encontramos

Vamos encontrar a função de distribuição da variável aleatória X, sujeito à lei de distribuição normal:

Vamos fazer uma alteração na integral e trazê-la para a forma:

.

Integrante não é expresso por meio de funções elementares, mas pode ser calculado por meio de uma função especial que expressa a integral definida da expressão ou. Vamos expressar a função através da função de Laplace Ф(х):

.

A probabilidade de uma variável aleatória X cair na área (α, β) é expressa pela fórmula:

.

Usando a última fórmula, você pode estimar a probabilidade de uma variável aleatória normal se desviar de sua expectativa matemática por um valor positivo arbitrariamente pequeno predeterminado ε:

.

Vamos, então e. No t=3 obtemos, ou seja, o evento em que o desvio de uma variável aleatória normalmente distribuída em relação à expectativa matemática será menor é praticamente certo.

Isso é regra dos três sigma: Se uma variável aleatória tiver distribuição normal, então o valor absoluto do desvio de seus valores da expectativa matemática não excede três vezes o desvio padrão.

Tarefa. Seja o diâmetro da peça produzida pela oficina uma variável aleatória distribuída normalmente, m = 4,5 cm, cm. Encontre a probabilidade de que o diâmetro de uma peça escolhida aleatoriamente difira de sua expectativa matemática em não mais que 1 mm.

Solução. Este problema é caracterizado pelos seguintes valores dos parâmetros que determinam a probabilidade desejada: , , F(0,2)=0,0793,

Perguntas de controle

1. Qual distribuição de probabilidade é chamada de uniforme?

2. Qual é a forma da função de distribuição de uma variável aleatória distribuída uniformemente no intervalo [ A; b]?

3. Como calcular a probabilidade dos valores de uma variável aleatória uniformemente distribuída estarem dentro de um determinado intervalo?

4. Como é determinada a distribuição exponencial de uma variável aleatória?

5. Qual é a forma da função de distribuição de uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei exponencial?

6. Qual distribuição de probabilidade é chamada de normal?

7. Quais propriedades tem a densidade de distribuição normal? Como os parâmetros da distribuição normal afetam a aparência do gráfico de densidade da distribuição normal?

8. Como calcular a probabilidade dos valores de uma variável aleatória normalmente distribuída cairem em um determinado intervalo?

9. Como calcular a probabilidade de desvio dos valores de uma variável aleatória normalmente distribuída de sua expectativa matemática?

10. Formule a regra dos “três sigma”?

11. Quais são a expectativa matemática, dispersão e desvio padrão de uma variável aleatória distribuída de acordo com uma lei uniforme no segmento [ A; b]?

12. Quais são a expectativa matemática, a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória distribuída de acordo com uma lei exponencial com parâmetro λ?

13. Quais são a expectativa matemática, variância e desvio padrão de uma variável aleatória distribuída de acordo com uma lei normal com parâmetros eu E ?

Tarefas de teste

1. Variável aleatória X distribuído uniformemente no intervalo [−3, 5]. Encontre a densidade de distribuição e a função de distribuição X. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre as probabilidades e . Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão X.

2. Os ônibus da rota nº 21 circulam regularmente em intervalos de 10 minutos. Um passageiro desce em uma parada em um horário aleatório. Considerando uma variável aleatória X− tempo que um passageiro espera pelo ônibus (em minutos). Encontre a densidade de distribuição e a função de distribuição X. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de um passageiro ter que esperar pelo ônibus no máximo cinco minutos. Encontre o tempo médio de espera do ônibus e a variação do tempo de espera do ônibus.

3. Foi estabelecido que o tempo de reparo de um videocassete (em dias) é uma variável aleatória X, distribuído de acordo com a lei exponencial. O tempo médio de reparo de um videocassete é de 10 dias. Encontre a densidade de distribuição e a função de distribuição X. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de que o conserto do videocassete leve pelo menos 11 dias.

4. Desenhe gráficos de densidade e funções de distribuição de uma variável aleatória X, distribuído de acordo com a lei normal com parâmetros eu= = − 2 e = 0,2.

Probabilidade de cair em um determinado intervalo de uma variável aleatória normal

Já se sabe que se uma variável aleatória X é dada pela densidade de distribuição f (x), então a probabilidade de X assumir um valor pertencente ao intervalo (a, b) é a seguinte:

Deixe a variável aleatória X ser distribuída de acordo com a lei normal. Então a probabilidade de X assumir um valor pertencente ao intervalo (a,b) é igual a

Vamos transformar esta fórmula para que você possa usar tabelas prontas. Vamos introduzir uma nova variável z = (x--а)/--s. Portanto, x = sz+a, dx = sdz. Vamos encontrar novos limites de integração. Se x= a, então z=(a-a)/--s; se x = b, então z = (b-a)/--s.

Assim temos

Usando a função Laplace

finalmente conseguiremos

Calculando a probabilidade de um evento aleatório

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Eles dizem...

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probabilidade da teoria da variável aleatória As regras de distribuição de uma variável aleatória discutidas acima são válidas apenas em relação a quantidades discretas, devido ao fato...

Elementos da teoria da probabilidade

Consideremos um problema que é importante do ponto de vista da aplicação prática. Seja uma variável aleatória contínua com densidade de distribuição. Estamos interessados ​​no problema de encontrar a densidade de distribuição de uma quantidade associada à relação:...

Arroz. 4. Densidade de distribuição normal.

Exemplo 6. A determinação das características numéricas de uma variável aleatória por sua densidade é considerada por meio de um exemplo. Uma variável aleatória contínua é dada pela densidade

Determine o tipo de distribuição, encontre a expectativa matemática M(X) e a variância D(X).

Solução. Comparando a densidade de distribuição dada com (1.16), podemos concluir que é dada uma lei de distribuição normal com m=4. Portanto, a expectativa matemática

M(X)=4, variância D(X)=9.

Desvio padrão σ =3.

A função de distribuição normal (1.17) está relacionada à função de Laplace, que tem a forma:

relação: Φ (− x) = −Φ (x). (A função de Laplace é estranha). Os valores das funções f(x) e Ф(х) podem ser calculados usando a tabela.

A distribuição normal de uma variável aleatória contínua desempenha um papel importante na teoria das probabilidades e na descrição da realidade é muito difundida nos fenômenos naturais aleatórios. Na prática, muitas vezes encontramos variáveis ​​aleatórias que são formadas precisamente como resultado da soma de muitos termos aleatórios. Em particular, uma análise dos erros de medição mostra que estes são a soma de vários tipos de erros. A prática mostra que a distribuição de probabilidade dos erros de medição está próxima da lei normal.

Usando a função de Laplace, você pode resolver o problema de calcular a probabilidade de cair em um determinado intervalo e um determinado desvio de uma variável aleatória normal.

3.4. Probabilidade de cair em um determinado intervalo de uma variável aleatória normal

Se uma variável aleatória X é dada pela densidade de distribuição f(x), então a probabilidade de X assumir um valor pertencente a um determinado intervalo é calculada usando a fórmula (1.9a). Substituindo na fórmula (1.9a) o valor da densidade de distribuição de (1.16) para a distribuição normal N(a, σ) e fazendo uma série de transformações, a probabilidade de X assumir um valor pertencente a um determinado intervalo será igual para:

P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = Φ(x 2 σ − a )

onde: a é a expectativa matemática.

−Φ(	x1 − uma

Exemplo 7. A variável aleatória X é distribuída de acordo com uma lei normal. Expectativa matemática a=60, desvio padrão σ =20. Encontre a probabilidade da variável aleatória X cair no intervalo dado (30;90).

Solução. A probabilidade desejada é calculada usando a fórmula (1.18).

Obtemos: P(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

Conforme tabela do Apêndice 1: Ф(1,5) = 0,4332.. P(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

A probabilidade de uma variável aleatória X cair em um determinado intervalo (30; 90) é igual a: P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. Calculando a probabilidade de um determinado desvio de uma variável aleatória normal

Os problemas de cálculo da probabilidade de desvio de uma variável aleatória normal de um determinado valor estão associados a vários tipos de erros (medição, pesagem). Erros de vários tipos são denotados pela variável ε.

Seja ε o desvio de uma variável aleatória X normalmente distribuída em valor absoluto. É necessário encontrar a probabilidade de que o desvio de uma variável aleatória X da expectativa matemática não exceda um determinado valor ε. Esta probabilidade é escrita como: P(|X–a| ≤ ε ). Supõe-se que na fórmula (1.18) o segmento [x1; x2] é simétrico em relação à expectativa matemática a. Assim: a–х1 =ε; x2 –a =ε. Se estas expressões forem somadas, podemos escrever: x2 – x1 =2ε. Limites do intervalo [x1; x2] ficará assim:

x1 =a –ε; x2 =a + ε.

Os valores x1, x2 de (1.19) são substituídos no lado direito de (1.18), e a expressão entre colchetes é reescrita na forma de duas desigualdades:

1) x 1 ≤ X e substitua x1 nele de acordo com (1.19), resulta: a–ε ≤ X ou a–X ≤ ε.

2) X ≤ x 2, substitua x2 da mesma forma, verifica-se: X ≤ a+ε ou X–a ≤ ε.

Exemplo 8. O diâmetro de uma peça é medido. Erros aleatórios de medição são considerados uma variável aleatória X e estão sujeitos à lei normal com expectativa matemática a=0, com desvio padrão σ =1 mm. Encontre a probabilidade de a medição ser feita com um erro não superior a 2 mm em valor absoluto.

Solução. Dado: ε =2, σ =1mm, a=0.

De acordo com a fórmula (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

A probabilidade de uma medição ser feita com erro não superior a 1 mm em valor absoluto é:

P (|X| ≤ ε ) = 2 0,4772 = 0,9544.

Exemplo 9. Uma variável aleatória distribuída de acordo com uma lei normal com parâmetros: a=50 e σ =15. Encontre a probabilidade de que o desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática - a seja menor que 5, ou seja, P(|X–a|<5).

Solução. Levando em conta (1.18) teremos: P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

Variância de uma variável aleatória normal.

Dispersão variável aleatória é a expectativa matemática do quadrado da variável aleatória centrada correspondente.

Caracteriza o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação à sua expectativa matemática, ou seja, largura do intervalo de valores.

Fórmulas de cálculo:

A variância pode ser calculada através do segundo momento inicial:

(6.10)

A dispersão de uma variável aleatória caracteriza o grau de dispersão (dispersão) dos valores de uma variável aleatória em relação à sua expectativa matemática. A variância de SV (discreta e contínua) é uma quantidade não aleatória (constante).

A variância de SV tem a dimensão do quadrado da variável aleatória. Para maior clareza, as características de dispersão são utilizadas com um valor cuja dimensão coincide com a dimensão SV.

Desvio padrão (RMS) NE X chamada característica

. (6.11)

O RMSE é medido nas mesmas unidades físicas que o SV e caracteriza a largura da faixa de valores do SV.

Propriedades de dispersão

Variância de valor constante Com igual a zero.

Prova: por definição de variância

Quando adicionado a uma variável aleatória X valor não aleatório Com sua dispersão não muda.

D[X+c] = D[X].

Prova: por definição de variância

(6.12)

3. Ao multiplicar uma variável aleatória X por um valor não aleatório Com sua variância é multiplicada por de 2.

Prova: por definição de variância

. (6.13)

Para o desvio padrão, esta propriedade tem a forma:

(6.14)

Na verdade, para ½С½>1 o valor cX tem valores possíveis (em valor absoluto) maiores que o valor X. Consequentemente, esses valores estão espalhados pela expectativa matemática M[cX] maior que os valores possíveis X em volta M[X], ou seja . Se 0<½с½<1, то .

Regra 3. Para a maioria dos valores de uma variável aleatória, o valor absoluto de seu desvio da expectativa matemática não excede o triplo do desvio padrão, ou seja, quase todos os valores de SV estão no intervalo:

[ eu - 3é; eu + 3 é; ].(6.15)

Probabilidade de cair em um determinado intervalo de uma variável aleatória normal

Como já foi estabelecido, a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor pertencente ao intervalo é igual a uma certa integral da densidade de distribuição, tomada dentro dos limites apropriados:
.
Para uma variável aleatória normalmente distribuída, obtemos respectivamente:
.
Vamos transformar a última expressão introduzindo uma nova variável . Portanto, o expoente da expressão sob a integral é transformado em:
.
Para substituir uma variável numa integral definida, é ainda necessário substituir o diferencial e os limites de integração, tendo previamente expressado a variável a partir da fórmula de substituição:
;
;
– limite inferior de integração;
– limite superior de integração;
(para encontrar os limites de integração sobre a nova variável, os limites de integração sobre a variável antiga foram substituídos na fórmula de substituição de variável).
Vamos substituir tudo na última das fórmulas para encontrar a probabilidade:


Onde – Função Laplace.
Conclusão: a probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída assumir um valor pertencente ao intervalo é igual a:
,
onde é a expectativa matemática e é o desvio padrão de uma determinada variável aleatória.

23. Distribuições Qui-quadrado, Student e Fisher

Usando a distribuição normal, são definidas três distribuições que agora são frequentemente utilizadas no processamento de dados estatísticos. Essas distribuições aparecem muitas vezes em seções posteriores do livro.

Distribuição de Pearson (qui-quadrado) – distribuição de uma variável aleatória

onde estão as variáveis ​​​​aleatórias X 1, X 2,…, X n independentes e têm a mesma distribuição N(0,1). Neste caso, o número de termos, ou seja, n, é chamado de “número de graus de liberdade” da distribuição qui-quadrado.

A distribuição qui-quadrado é usada ao estimar a variância (usando um intervalo de confiança), ao testar hipóteses de concordância, homogeneidade, independência, principalmente para variáveis ​​qualitativas (categorizadas) que assumem um número finito de valores, e em muitas outras tarefas de dados estatísticos análise.

Distribuição t T de Student é a distribuição de uma variável aleatória

onde estão as variáveis ​​​​aleatórias você E X independente, você tem uma distribuição normal padrão N(0,1) e X– distribuição chi – quadrado c n graus de liberdade. Em que né chamado de “número de graus de liberdade” da distribuição de Student.

A distribuição Student foi introduzida em 1908 pelo estatístico inglês W. Gosset, que trabalhava em uma fábrica de cerveja. Métodos probabilísticos e estatísticos foram utilizados para tomar decisões econômicas e técnicas nesta fábrica, por isso sua administração proibiu V. Gosset de publicar artigos científicos em seu próprio nome. Desta forma, foram protegidos segredos comerciais e “know-how” na forma de métodos probabilísticos e estatísticos desenvolvidos por V. Gosset. No entanto, teve a oportunidade de publicar sob o pseudônimo de "Estudante". A história da Gosset-Student mostra que, mesmo há cem anos, os gestores na Grã-Bretanha estavam conscientes da maior eficiência económica dos métodos estatísticos probabilísticos.

Atualmente, a distribuição de Student é uma das distribuições mais conhecidas utilizadas na análise de dados reais. É utilizado ao estimar a expectativa matemática, valor previsto e outras características usando intervalos de confiança, testando hipóteses sobre os valores das expectativas matemáticas, coeficientes de regressão, hipóteses de homogeneidade da amostra, etc. .