Orbity sztucznych satelitów Ziemi. Rodzaje orbit satelitów i ich definicje Co to jest orbita satelity
W przestrzeni kosmicznej nad Ziemią satelity poruszają się po określonych trajektoriach, tzw orbity sztucznych satelitów Ziemi. Orbita to trajektoria ruchu (w tłumaczeniu z łac. „ścieżka, droga”) dowolnego obiektu materialnego (w naszym przypadku satelity) do przodu wzdłuż z góry określonego układu współrzędnych przestrzennych, biorąc pod uwagę konfigurację pól sił działających na To.
Satelity sztucznej Ziemi (AES) poruszają się po trzech orbitach: polarnej, nachylonej i równikowej (geostacjonarnej).
Orbita polarna ma nachylenie kątowe 90° (oznaczone literą „i” z angielskiego nachylenia) względem płaszczyzny równikowej. Kąt ten jest również mierzony w minutach i sekundach. Orbita polarna może być synchroniczna lub quasi-synchroniczna.
Nachylona orbita znajduje się pomiędzy biegunem a równikiem orbity sztucznych satelitów Ziemi, tworząc przesunięty kąt ostry.
Główną i znaczącą wadą orbity polarnej i nachylonej jest to, że satelita stale porusza się po swojej orbicie, dlatego aby śledzić jego położenie, antena musi być stale regulowana, aby odbierać sygnał satelitarny. Aby automatycznie dostosować antenę do pozycji satelitarnej, istnieje specjalny, drogi sprzęt, który jest bardzo trudny w instalacji i późniejszej konserwacji.
Orbita geostacjonarna (zwana także równikową) ma zerowe odchylenie i znajduje się w płaszczyźnie równikowej naszej planety. Poruszający się po niej satelita wykonuje pełny obrót równy czasowi obrotu Ziemi wokół własnej osi. Oznacza to, że w stosunku do obserwatora naziemnego taki satelita w pewnym momencie będzie wydawał się nieruchomy.
1-Orbita geostacjonarna (GSO) lub orbita równikowa.
2-Nachylona orbita.
Orbita 3-biegunowa.
Wysokość nad powierzchnią Ziemi na orbicie geostacjonarnej ( GSO) wynosi 35876 km, promień wynosi 42241 km, a jego długość (długość) wynosi 265409 km. Należy wziąć te parametry pod uwagę przy wystrzeliwaniu satelity GSO i wówczas możliwe będzie osiągnięcie takiego bezruchu w stosunku do obserwatora znajdującego się na Ziemi.
To właśnie orbita geostacjonarna jest wykorzystywana do wystrzeliwania większości komercyjnych satelitów. Prędkość satelity GSO w przybliżeniu równa 3000 m/s.
Oprócz swoich mocnych stron orbita geostacjonarna ma również słabą stronę: w okołobiegunowych obszarach Ziemi kąt terenu jest bardzo mały, więc transmisja sygnału staje się niemożliwa - z powodu przesycenia orbity geostacjonarnej, które występuje z powodu nagromadzenie kilku satelitów w niewielkiej odległości od siebie.
W przypadku telewizji satelitarnej, satelity znajdujące się na GSO, więc antena użytkownika jest nieruchoma. Im bliżej północy znajduje się szerokość geograficzna, tym mniej satelitów można odbierać.
Zazwyczaj antenę satelitarną reguluje się według dwóch współrzędnych: azymutu (odchylenie samego satelity od kierunku „Północ” i płaszczyzny horyzontu, określone zgodnie z ruchem wskazówek zegara) i elewacji (kąt między płaszczyzną horyzontu a kierunkiem do satelity ).
Co to jest orbita geostacjonarna? Jest to okrągłe pole znajdujące się nad równikiem Ziemi, wzdłuż którego sztuczny satelita obraca się z prędkością kątową obrotu planety wokół własnej osi. Nie zmienia swojego kierunku w poziomym układzie współrzędnych, lecz wisi nieruchomo na niebie. Geostacjonarna orbita Ziemi (GEO) jest rodzajem pola geosynchronicznego i służy do umieszczania satelitów komunikacyjnych, nadawczych telewizyjnych i innych.
Pomysł wykorzystania sztucznych urządzeń
Sama koncepcja orbity geostacjonarnej została zapoczątkowana przez rosyjskiego wynalazcę K. E. Ciołkowskiego. W swoich pracach proponował zaludnienie przestrzeni za pomocą stacji orbitalnych. Zagraniczni naukowcy opisali także działanie pól kosmicznych, np. G. Oberth. Twórcą koncepcji wykorzystania orbity do komunikacji jest Arthur C. Clarke. W 1945 roku opublikował artykuł w czasopiśmie Wireless World, w którym opisał zalety pola geostacjonarnego. Za aktywną pracę w tej dziedzinie, na cześć naukowca, orbita otrzymała drugie imię - „Pas Clarka”. Wielu teoretyków zastanawiało się nad problemem wdrożenia komunikacji wysokiej jakości. W ten sposób Herman Potochnik w 1928 roku wyraził pomysł, w jaki sposób można wykorzystać satelity geostacjonarne.
Charakterystyka „Pasu Clarka”
Aby orbitę można było nazwać geostacjonarną, musi spełniać szereg parametrów:
1. Geosynchronia. Cecha ta obejmuje pole, które ma okres odpowiadający okresowi obrotu Ziemi. Satelita geosynchroniczny okrąża planetę w ciągu doby gwiazdowej, która trwa 23 godziny, 56 minut i 4 sekundy. Ziemia potrzebuje tego samego czasu na wykonanie jednego obrotu w ustalonej przestrzeni.
2. Aby utrzymać satelitę w określonym punkcie, orbita geostacjonarna musi być kołowa i mieć zerowe nachylenie. Pole eliptyczne spowoduje przemieszczenie na wschód lub na zachód, ponieważ statek porusza się w różny sposób w pewnych punktach swojej orbity.
3. „Punkt zawisu” mechanizmu kosmicznego musi znajdować się na równiku.
4. Rozmieszczenie satelitów na orbicie geostacjonarnej powinno być takie, aby przy niewielkiej liczbie częstotliwości przeznaczonych do komunikacji nie powodowało nakładania się częstotliwości różnych urządzeń podczas odbioru i transmisji oraz aby uniknąć ich kolizji.
5. Wystarczająca ilość paliwa do utrzymania stałego położenia mechanizmu kosmicznego.
Orbita geostacjonarna satelity jest wyjątkowa, ponieważ tylko dzięki połączeniu jej parametrów urządzenie może pozostać nieruchome. Kolejną cechą jest możliwość widzenia Ziemi pod kątem siedemnastu stopni z satelitów znajdujących się w polu kosmicznym. Każde urządzenie przechwytuje około jednej trzeciej powierzchni orbity, więc trzy mechanizmy są w stanie objąć prawie całą planetę.
Sztuczne satelity
Satelity zostały wystrzelone przez wiele krajów i firm. Pierwsze na świecie sztuczne urządzenie powstało w ZSRR i poleciał w kosmos 4 października 1957 roku. Został nazwany Sputnik 1. W 1958 roku Stany Zjednoczone wystrzeliły drugi statek kosmiczny, Explorer 1. Pierwszy satelita wystrzelony przez NASA w 1964 roku otrzymał nazwę Syncom-3. Sztuczne urządzenia w większości nie podlegają zwrotowi, ale zdarzają się takie, które zwracane są w części lub w całości. Służą do prowadzenia badań naukowych i rozwiązywania różnych problemów. Są więc satelity wojskowe, badawcze, nawigacyjne i inne. Na rynek trafiają także urządzenia tworzone przez pracowników uczelni lub radioamatorów.
„Punkt stały”
Satelity geostacjonarne znajdują się na wysokości 35 786 kilometrów nad poziomem morza. Wysokość ta zapewnia okres orbitalny odpowiadający okresowi obrotu Ziemi względem gwiazd. Sztuczny pojazd jest nieruchomy, dlatego jego położenie na orbicie geostacjonarnej nazywa się „punktem postoju”. Unoszenie zapewnia stałą, długoterminową komunikację, po ustawieniu antena będzie zawsze skierowana na żądanego satelitę.
Ruch
Satelity można przenosić z orbity na małej wysokości na orbitę geostacjonarną za pomocą pól geotransferowych. Te ostatnie to ścieżka eliptyczna z punktem na małej wysokości i szczytem na wysokości zbliżonej do koła geostacjonarnego. Satelita, który stał się nienadający się do dalszych prac, zostaje wysłany na orbitę utylizacyjną zlokalizowaną 200-300 kilometrów nad GEO.
Wysokość orbity geostacjonarnej
Satelita w danym polu utrzymuje określoną odległość od Ziemi, nie zbliżając się, ani nie oddalając. Zawsze znajduje się nad jakimś punktem na równiku. Z tych cech wynika, że siły grawitacji i siła odśrodkowa równoważą się. Wysokość orbity geostacjonarnej oblicza się metodami opartymi na mechanice klasycznej. W tym przypadku brana jest pod uwagę zgodność sił grawitacyjnych i odśrodkowych. Wartość pierwszej wielkości określa się korzystając z prawa powszechnego ciążenia Newtona. Wskaźnik siły odśrodkowej oblicza się, mnożąc masę satelity przez przyspieszenie dośrodkowe. Z równości masy grawitacyjnej i bezwładnościowej wynika, że wysokość orbity nie zależy od masy satelity. Dlatego orbitę geostacjonarną wyznacza się jedynie na podstawie wysokości, na której siła odśrodkowa jest równa co do wielkości i skierowana przeciwnie do siły grawitacji wytwarzanej przez grawitację Ziemi na danej wysokości.
Ze wzoru na obliczenie przyspieszenia dośrodkowego można znaleźć prędkość kątową. Promień orbity geostacjonarnej jest również wyznaczany za pomocą tego wzoru lub poprzez podzielenie geocentrycznej stałej grawitacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Ma długość 42 164 km. Biorąc pod uwagę promień równikowy Ziemi, uzyskujemy wysokość równą 35 786 kilometrów.
Obliczenia można przeprowadzić w inny sposób, bazując na stwierdzeniu, że wysokość orbity, czyli odległość od środka Ziemi, przy prędkości kątowej satelity pokrywającej się z ruchem obrotowym planety, powoduje powstanie liniowego prędkość równa pierwszej prędkości kosmicznej na danej wysokości.
Prędkość na orbicie geostacjonarnej. Długość
Wskaźnik ten oblicza się, mnożąc prędkość kątową przez promień pola. Wartość prędkości na orbicie wynosi 3,07 km na sekundę, czyli znacznie mniej niż pierwsza prędkość kosmiczna na ścieżce bliskiej Ziemi. Aby zmniejszyć szybkość, konieczne jest zwiększenie promienia orbity ponad sześciokrotnie. Długość oblicza się, mnożąc liczbę Pi i promień pomnożony przez dwa. To 264924 km. Wskaźnik jest brany pod uwagę przy obliczaniu „punktów stojących” satelitów.
Wpływ sił
Parametry orbity, po której obraca się sztuczny mechanizm, mogą zmieniać się pod wpływem grawitacyjnych zaburzeń księżycowo-słonecznych, niejednorodności pola ziemskiego i eliptyczności równika. Transformacja pola wyraża się w takich zjawiskach jak:
- Przemieszczenie satelity z jego położenia na orbicie w kierunku punktów stabilnej równowagi, które nazywane są potencjalnymi dziurami na orbicie geostacjonarnej.
- Kąt nachylenia pola do równika rośnie z określoną prędkością i osiąga 15 stopni raz na 26 lat i 5 miesięcy.
Aby utrzymać satelitę w pożądanym „punkcie stojącym”, jest on wyposażony w układ napędowy, który włącza się kilka razy co 10-15 dni. Zatem, aby skompensować wzrost nachylenia orbity, stosuje się korektę „północ-południe”, a dla kompensacji dryfu wzdłuż pola stosuje się korektę „zachód-wschód”. Aby regulować ścieżkę satelity przez cały okres jego życia, wymagany jest duży zapas paliwa na pokładzie.
Układy napędowe
Wybór urządzenia zależy od indywidualnych cech technicznych satelity. Na przykład chemiczny silnik rakietowy ma wyporowe zasilanie paliwem i działa na długo przechowywanych, wysokowrzących składnikach (czterotlenek diazotu, niesymetryczna dimetylohydrazyna). Urządzenia plazmowe mają znacznie mniejszy ciąg, ale dzięki długotrwałej pracy, mierzonej w kilkudziesięciu minutach na pojedynczy ruch, mogą znacznie zmniejszyć ilość paliwa zużywanego na pokładzie. Ten typ układu napędowego służy do manewrowania satelitą na inną pozycję orbitalną. Głównym czynnikiem ograniczającym żywotność urządzenia jest zasilanie paliwem na orbicie geostacjonarnej.
Wady sztucznego pola
Istotną wadą interakcji z satelitami geostacjonarnymi są duże opóźnienia w propagacji sygnału. Zatem przy prędkości światła 300 tysięcy kilometrów na sekundę i wysokości orbity 35 786 kilometrów ruch wiązki Ziemia-satelita zajmuje około 0,12 sekundy, a wiązki Ziemia-satelita-Ziemia - 0,24 sekundy. Biorąc pod uwagę opóźnienie sygnału w urządzeniach i systemach transmisji kablowej służb naziemnych, całkowite opóźnienie sygnału „źródło-satelita-odbiornik” sięga około 2-4 sekund. Wskaźnik ten znacząco komplikuje wykorzystanie urządzeń na orbicie dla telefonii i uniemożliwia wykorzystanie łączności satelitarnej w systemach czasu rzeczywistego.
Kolejną wadą jest niewidoczność orbity geostacjonarnej z dużych szerokości geograficznych, co zakłóca komunikację i transmisje telewizyjne w regionach Arktyki i Antarktyki. W sytuacjach, gdy słońce i satelita nadawczy znajdują się w jednej linii z anteną odbiorczą, następuje spadek, a czasem całkowity brak sygnału. Na orbitach geostacjonarnych, ze względu na bezruch satelity, zjawisko to objawia się szczególnie wyraźnie.
efekt Dopplera
Zjawisko to polega na zmianie częstotliwości drgań elektromagnetycznych przy wzajemnym ruchu nadajnika i odbiornika. Zjawisko to wyraża się zmianą odległości w czasie, a także ruchem sztucznych pojazdów na orbicie. Efekt objawia się niską stabilnością częstotliwości nośnej satelity, do której dochodzi sprzętowa niestabilność częstotliwości pokładowego wzmacniacza i stacji naziemnej, co komplikuje odbiór sygnałów. Efekt Dopplera przyczynia się do zmiany częstotliwości drgań modulujących, której nie można kontrolować. W przypadku wykorzystania na orbicie satelitów komunikacyjnych i bezpośredniej transmisji telewizyjnej zjawisko to jest praktycznie wyeliminowane, to znaczy nie następuje zmiana poziomu sygnału w punkcie odbioru.
Stosunek świata do pól geostacjonarnych
Narodziny orbity kosmicznej wywołały wiele pytań i międzynarodowych problemów prawnych. W ich rozstrzyganie zaangażowanych jest wiele komisji, w szczególności Organizacja Narodów Zjednoczonych. Niektóre kraje położone na równiku domagały się rozszerzenia swojej suwerenności na część pola kosmicznego znajdującą się nad ich terytorium. Państwa stwierdziły, że orbita geostacjonarna jest czynnikiem fizycznym związanym z istnieniem planety i zależnym od pola grawitacyjnego Ziemi, zatem segmenty pola stanowią przedłużenie terytorium ich krajów. Ale takie twierdzenia zostały odrzucone, ponieważ na świecie obowiązuje zasada nieprzywłaszczania przestrzeni kosmicznej. Wszelkie problemy związane z eksploatacją orbit i satelitów rozwiązywane są na poziomie globalnym.
W tej sekcji rozważymy rodzaje orbit satelitów. Wszystkie satelity poruszają się po elipsach, a w jednym z ognisk znajduje się Ziemia. W związku z tym wszystkie typy orbit są eliptyczne. Główny podział orbit odbywa się poprzez nachylenie "I" wartość orbity i półosi wielkiej "A". Dodatkowo można wyróżnić podział ze względu na wielkość mimośrodu "mi"- orbity niskoeliptyczne i wysoce eliptyczne. Podano wizualną reprezentację zmiany wyglądu orbity przy różnych wartościach mimośrodu .Klasyfikacja orbit satelitów ze względu na nachylenie
Generalnie nachylenie orbity satelity mieści się w zakresie 0° „i” rys. 12). W zależności od wartości nachylenia i wysokości satelity nad powierzchnią Ziemi, położenie obszarów jego widoczności ma różne granice szerokości geograficznej, a w zależności od wysokości nad powierzchnią różne promienie tych obszarów. Im większe nachylenie, tym na bardziej północnych szerokościach geograficznych satelita może być widoczny, a im jest on wyższy, tym szerszy jest obszar widoczności. A więc skłonność "I" i oś główna "A" określić ruch pasma widzialności satelity nad powierzchnią Ziemi i jej szerokość.Ogólnie rzecz biorąc, parametry orbity będą ewoluować w zależności od nachylenia "I", półoś wielka "A" i ekscentryczność "mi".
Orbity równikowe
Orbita równikowa jest skrajnym przypadkiem orbity, w której występuje nachylenie "I"= 0° (patrz ). W tym przypadku precesja i rotacja orbity będą maksymalne - odpowiednio do 10°/dzień i do 20°/dzień. Szerokość pasma widoczności satelity, położonego wzdłuż równika, zależy od jego wysokości nad powierzchnią Ziemi. Orbity o niskim nachyleniu "I" często nazywany „blisko równikowym”.Orbity polarne
Orbita polarna to drugi skrajny przypadek orbity, kiedy występuje nachylenie "I"= 90° (patrz ). W tym przypadku nie ma precesji orbity, a obrót orbity następuje w kierunku przeciwnym do obrotu satelity i nie przekracza 5°/dobę. Podobny satelita polarny przelatuje sekwencyjnie nad wszystkimi obszarami powierzchni Ziemi. Szerokość pasma widoczności satelity zależy od jego wysokości nad powierzchnią Ziemi, ale prędzej czy później satelitę będzie można zobaczyć z dowolnego miejsca. Orbity z nachyleniem "I", bliskie 90°, nazywane są „subpolarnymi”.Orbity synchroniczne ze Słońcem
Orbita synchroniczna ze Słońcem ( MTR) to specjalny rodzaj orbity często używany przez satelity wykonujące zdjęcia powierzchni Ziemi. Jest to orbita o takich parametrach, że satelita przechodzi nad dowolnym punktem na powierzchni Ziemi mniej więcej w tym samym lokalnym czasie słonecznym. Ruch takiego satelity jest zsynchronizowany z ruchem linii terminatora po powierzchni Ziemi - dzięki temu satelita może zawsze przelecieć nad granicą obszarów oświetlonych i nieoświetlonych, lub zawsze w obszarze oświetlonym, lub odwrotnie - zawsze w nocy, a warunki oświetleniowe podczas przelotu nad tymi samymi punktami Ziemi są zawsze takie same. Aby osiągnąć ten efekt, orbita musi poprzedzać obrót Ziemi w kierunku przeciwnym do obrotu Ziemi (tj. na wschód) o 360° rocznie, aby skompensować obrót Ziemi wokół Słońca. Warunki takie są spełnione tylko dla pewnego zakresu wysokości i inklinacji orbit - z reguły są to wysokości 600-800 km i inklinacja "I" powinna wynosić około 98°, tj. AES na orbitach synchronicznych ze Słońcem ma ruch wsteczny (patrz. Ryż. 15). Wraz ze wzrostem wysokości lotu satelity nachylenie powinno się zwiększać, dlatego satelita nie będzie latał nad regionami polarnymi. Z reguły orbity synchroniczne ze Słońcem są zbliżone do kołowych, ale mogą być również zauważalnie eliptyczne.
Ogólnie rzecz biorąc, nachylenie wymagane dla orbity synchronicznej ze Słońcem wynosi I SS można obliczyć korzystając ze wzoru:
gdzie „e” to mimośrod orbity satelity, „a” to wielka półoś orbity satelity w kilometrach (a = h + R W, „h” to odległość perygeum od powierzchni Ziemi, „R W” = 6371 km jest promieniem Ziemi).
NA Ryż. 16 pokazuje wykres wymaganego nachylenia orbity satelity, aby był on synchroniczny ze słońcem - dla różnych wartości mimośrodu „e” i wysokości perygeum „h” satelity nad powierzchnią Ziemi.
Pod wpływem zakłóceń satelita stopniowo wychodzi z trybu synchronizacji, w związku z czym okresowo musi korygować swoją orbitę za pomocą silników.
Klasyfikacja orbit satelitów według półosi wielkiej
Druga klasyfikacja opiera się na wielkości półosi wielkiej, a dokładniej na wysokości nad powierzchnią Ziemi.Satelity na niskiej orbicie okołoziemskiej (LEO).
Satelity na niskiej orbicie ( NOS(Rosyjski) Ryż. 17, o posłuchaj)) są zwykle uważane za satelity znajdujące się na wysokości od 160 km do 2000 km nad powierzchnią Ziemi. Takie orbity (i satelity) w literaturze anglojęzycznej nazywane są LEO (od angielskiego „ L och mi art O rbit"). Orbity LEO podlegają maksymalnym zakłóceniom ze strony pola grawitacyjnego Ziemi i jej górnych warstw atmosfery. Prędkość kątowa satelitów LEO jest maksymalna - od 0,2°/s do 2,8°/s, okresy orbitalne od 87,6 minut do 127 minuty .Satelity średnioorbitalne (MEO)
Satelity średnie orbity ( SOS(rosyjski) lub „MEO”- z angielskiego " M Edium mi art O rbit”) są zwykle uważane za satelity o wysokościach od 2000 km do 35786 km nad powierzchnią Ziemi ( Ryż. 17, ur). Dolną granicę wyznacza granica LEO, a górną orbitę satelitów geostacjonarnych (patrz niżej). Strefę tę „zamieszkują” głównie satelity nawigacyjne (satelity NAVSTAR systemu GPS latają na wysokości 20 200 km, satelity systemu GLONASS – na wysokości 19 100 km) oraz łączność obejmująca bieguny Ziemi. Okres obiegu wynosi od 127 minut do 24 godzin. Prędkość kątowa - jednostki i ułamki minut kątowych na sekundę.Orbity satelitów geostacjonarnych i geosynchronicznych
Satelity geostacjonarne ( GSS(rosyjski) lub „GSO”- z angielskiego " G eo S synchroniczny O rbit”) są uważane za satelity, których okres obrotu wokół Ziemi jest równy dobie gwiazdowej (gwiazdowej) - 23 godziny 56 m 4,09 s. Jeśli nachylenie "I" orbity wynoszą zero, wówczas takie orbity nazywane są geostacjonarnymi (patrz. Ryż. 18, o). Satelity geostacjonarne latają na wysokości 35 786 km nad powierzchnią Ziemi. Ponieważ Ponieważ ich okres obrotu pokrywa się z okresem obrotu Ziemi wokół własnej osi, satelity takie „wiszą” na niebie w jednym miejscu (patrz ryc. Ryż. 19). Jeśli nachylenie "I" nie jest równa zeru, wówczas takie satelity nazywane są geosynchronicznymi (patrz. Ryż. 18, ur). W rzeczywistości wiele satelitów geostacjonarnych ma niewielkie nachylenie i podlega zakłóceniom ze strony Księżyca i Słońca, przez co opisują figury na niebie w postaci „ósemek” wydłużonych w kierunku północ-południe.
 |
|
Ryż. 18. Satelita geostacjonarny (a) i geosynchroniczny (b). |
 |
|
Ryż. Rys. 19. Zdjęcie nieruchomych GEO na tle rotacji nieba: 1 - Eutelsat W4 (NORAD nr 26369), 2 - Eutelsat W7 (NORAD nr 36101). Pociągnięcia to ślady gwiazd. Zrobione 06.06.2010 z punktu obserwacyjnego R.S. na obiektywie Jupiter 36B i lustrzance cyfrowej Canon 30D ułożono 12 klatek z czasem otwarcia migawki 30 s każda. © V. Povalishev, V. Mechinsky. |
Jeśli mówimy o rodzaju trajektorii GSS, określa się ją na podstawie wartości nachylenia nachylenia „i”, mimośrodu „e” i argumentu perygeum „W p orbity satelity (patrz. ). Jeśli mimośród i nachylenie orbity wynoszą zero, wówczas punkt podsatelitarny jest nieruchomy i jest rzutowany na określony punkt na powierzchni Ziemi. Przy niezerowym mimośrodzie i zerowym nachyleniu GSS „rysuje” odcinek na powierzchni, poruszając się ze wschodu na zachód i z powrotem, przesuwając się od położenia zerowego o nie więcej niż ΔL max = 114,6° e, tj. przy mimośrodowości e=0,01 przemieszczenie nie będzie większe niż 1,2°. Jeśli nachylenie jest niezerowe, a mimośrodowość wynosi zero, wówczas GSS „rysuje” klasyczne „ósemki” - wysokość kątowa 2Θ figury jest równa dwukrotności wartości nachylenia i orbity, maksymalna szerokość ΔL max oblicza się ze wzoru 0,044 i 2 (nachylenie „i” podawane jest w stopniach). W najbardziej ogólnym przypadku, z niezerowym „i” i „e”, tor GSS na powierzchni Ziemi to „przechylona ósemka”, wysokość kątowa 2Θ = i, maksymalna szerokość ΔLmax = 114,6° e, a „ósemkę” uzyskuje się tylko w tym przypadku, jeśli argument perygeum „W p” orbity jest równy 0° i 180°, w pozostałych przypadkach otrzymuje się figurę bardziej złożoną – coś pomiędzy owalem a ósemką.
Jak już staje się jasne, wbrew powszechnemu przekonaniu, GSS nie „wiszą” na niebie dokładnie w jednym punkcie – nachylenie, ekscentryczność i argument perygeum orbity satelity determinują rodzaj i wielkość dość skomplikowanych figur trajektorii GSS w niebo. Co więcej, jeśli satelita nie jest aktywny, tj. nie dostosowuje swojej orbity, zaczyna przesuwać się na tle gwiazd z dość znaczną prędkością. Zacytujmy z: „Potrzeba korekcyjnego układu napędowego na pokładach satelitów stacjonarnych wynika zarówno z zadań wprowadzenia na orbitę stacjonarną, jak i z faktu, że podczas jej przebywania ulega on stale szeregowi zakłóceń obejmują zakłócenia wynikające z niejednorodności pola grawitacyjnego Ziemi, zakłócające działanie pól grawitacyjnych Księżyca i Słońca, a nawet ciśnienie światła. Na przykład ciśnienie światła powoduje długotrwałe ruchy IS3 wzdłuż orbity do 100 km i wysokości do kilkudziesięciu kilometrów dla stosunkowo lekkiego, ale dużego IS3 (im większa masa IS3 i im mniejsze wymiary, tym mniejszy wpływ ciśnienia światła na jego orbitę). Ziemia na biegunach powoduje, że IS3 porusza się po orbicie stacjonarnej do prawie 9,8 o rocznie, co prowadzi do okresowych zaburzeń wysokości i nachylenia o amplitudzie do 3 km oraz do zmian innych parametrów orbity na skutek odchyleń. równik Ziemi z koła idealnego ( zobacz zdjęcie poniżej - Toczeń ) nieruchoma IS3 przesuwa się o około 3,3° wzdłuż orbity w ciągu zaledwie 2 miesięcy, a jej położenie na wysokości zmienia się o ponad 8 km. Co więcej, maksymalne zaburzenie spowodowane kompresją równikową osiąga się w pobliżu punktów „stojących” 30° i 20°. d., 60 o i 150 o w. d. I odwrotnie, najbardziej stabilne punkty „stania” stacjonarnego IS3 to 75 o na północy i 105 o na zachodzie. itp. (więcej szczegółów na temat punktów stojących można znaleźć poniżej).
 |
|
Ryc. 21. Kształt geoidy ziemskiej według danych satelitarnych GOCE. |
I z tego samego miejsca: „Szereg świeckich zaburzeń pozycji IS3 na orbicie stacjonarnej można wyeliminować poprzez korektę przeprowadzoną po wystrzeleniu IS3 na orbitę. Na przykład świeckie zaburzenia pozycji na płaszczyźnie orbity. spowodowane wpływem kompresji polarnej, można skompensować wzrostem wysokości orbity i odpowiadającym temu wzrostem prędkości. Jednakże wpływ innych czynników zakłócających pozostaje nierozwiązany (zwłaszcza ze względu na równikową kompresję Ziemi), co w szczególności , prawie zawsze prowadzi do zmiany długości geograficznej punktu „stojącego” nieruchomego IS3. Dlatego konieczna jest epizodyczna korekta ruchu nieruchomego IS3, korygująca jego orbitę. Liczba poprawek zależy od dopuszczalnego przemieszczenia nieruchomego IS3 długości geograficznej rocznie. W ogólnym przypadku, jeśli dopuszczalne przemieszczenie IS3 nie powinno przekraczać 1 o -4 o, wówczas należy przeprowadzić do 6 korekt rocznie w punktach stabilnego położenia regulacji stacjonarnego IS3 na rok."
Okazuje się, że bez obowiązkowej korekty orbity GSS nie będzie mógł pozostać na orbicie geostacjonarnej – wymagana jest okresowa korekta. Dlatego każdy GSS ma rezerwę paliwa do korekty, a gdy się skończy, GSS jest przenoszony na orbitę utylizacyjną i wyłączany (patrz poniżej), aby zwolnić bliską orbitę dla nowego satelity, a nie stwarzać niebezpieczeństwo kolizji z istniejącym systemem GSS podczas driftu.
Obecnie skatalogowano ponad 16 000 obiektów kosmicznych sztucznego pochodzenia na orbitach okołoziemskich i geostacjonarnych. Spośród nich tylko około 6% jest „aktywnych”, tj. funkcjonowanie. GSO jest najbardziej atrakcyjnym i korzystnym rozwiązaniem dla rozwiązywania wielu problemów naukowych, gospodarczych, wojskowych, nawigacyjnych, handlowych i innych. Około 80% aktywnych, działających satelitów rozmieszczonych jest na orbicie geostacjonarnej. Ogólnie rzecz biorąc, jest to specjalna orbita, na której każdy satelita będzie stale wisiał nad jednym punktem na powierzchni Ziemi.
Z punktu widzenia fizyki i mechaniki niebieskiej obecność GEO można wytłumaczyć dwoma przyczynami:
Wypadkowa wszystkich sił działających na ciało niebieskie (w naszym przypadku GSS) jest równa zeru.
Prędkość kątowa obrotu Ziemi i satelity jest równa.
, (**)
gdzie m satelita to masa satelity, M ⊕ to masa Ziemi, G to stała grawitacyjna, a r to odległość od satelity do środka Ziemi lub promień orbity. Wielkość siły odśrodkowej jest równa:
. (***)
Z równań (**) i (***) możemy wyznaczyć prędkość satelity na orbicie kołowej:
.
Gdy prędkość kątowa obrotu Ziemi i satelity jest równa, pojawia się region o unikalnych właściwościach. Taka równość jest możliwa tylko w płaszczyźnie równika niebieskiego. Gdy satelita obraca się poza płaszczyzną równikową, nie można zapewnić synchronizacji obrotu Ziemi i satelity. Okres obiegu satelity wokół Ziemi T jest równy długości orbity 2πr podzielonej przez prędkość satelity v:
.
Gdy okres obiegu satelity T będzie równy okresowi obrotu Ziemi wokół własnej osi (23 h 56 m 04 s), satelita „zawiesi się” nad tym samym obszarem Ziemi, a orbita kołowa leżąca w tym regionie nazywa się geostacjonarnym.
Orbita geostacjonarna ma ograniczony rozmiar i leży w płaszczyźnie równika ziemskiego. Jego promień wynosi 42164 km od środka Ziemi. Niebiańskie współrzędne satelity geostacjonarnego na orbicie geostacjonarnej będą teoretycznie stałe. Głównymi przyczynami zniekształcającymi ruch keplerowski pasywnego satelity geostacjonarnego są zaburzenia grawitacyjne (geopotencjał niesferyczny, zaburzenia księżycowo-słoneczne), a w przypadku GSS o dużym stosunku powierzchni do masy także zaburzenia niegrawitacyjne (ciśnienie lekkie ) czynnik. W wyniku działania sił zakłócających pojawia się dryf satelity, zmieniający okres obrotu wokół Ziemi. Różnica między okresem rotacji GSS a okresem teoretycznym powoduje, że średnia długość geograficzna GSS zmienia się w czasie: satelita powoli dryfuje z zachodu na wschód, jeśli jego okres obrotu wokół Ziemi jest krótszy niż doba gwiazdowa , a w przeciwnym razie ze wschodu na zachód. Różnica między mimośrodem „e” a zerem prowadzi również do tego, że zmienia się długość geograficzna podsatelity GSS. Następuje niewielka zmiana długości geograficznej (z okresem około 12 godzin i amplitudą proporcjonalną do kwadratu kąta nachylenia orbity) i szerokości geograficznej (z okresem 24 godzin i amplitudą równą samemu nachyleniu „i”). W rezultacie punkt podsatelitarny opisuje dobrze znaną „ósemkę” na powierzchni Ziemi (patrz ryc. ).
 |
|
Ryż. 22. Dzienna trajektoria GSS „RAGUGA 22” (SCN: 19596). |
Rezonansowy wpływ członów podłużnych na ekspansję geopotencjału Ziemi (niejednorodność pola grawitacyjnego Ziemi) prowadzi do tego, że na orbicie geostacjonarnej istnieją dwie stabilne pozycje (punkty) równowagi o długości geograficznej 75° wschodniej. (punkt libracji L 1 ) i 255°E. (punkt libracjiL 2 ) . Oraz dwa niestabilne, oddalone od punktów stabilnych o około 90°. Przy rozwiązywaniu problemu ciał „n” nie należy utożsamiać tych punktów libracyjnych na GEO z punktami libracyjnymi w mechanice niebieskiej.
Wokół Ziemi istnieje tylko jedna orbita geostacjonarna. Wysłanie satelity do GEO rozpoczęło się w 1963 roku. Na początku XXI wieku ponad 40 krajów na świecie ma własne satelity geostacjonarne. Co roku na GEO wystrzeliwane są dziesiątki satelitów, a orbita stopniowo zapełnia się także zużytymi satelitami. W GSO stale dochodzi do eksplozji zużytych pojazdów i ich rakiet nośnych. Eksplozje te generują dziesiątki lub setki fragmentów przestrzeni, które mogą uniemożliwić działanie urządzeń. Zanieczyszczenie tej orbity śmieciami kosmicznymi może prowadzić do nieodwracalnych konsekwencji - niemożności stabilnej pracy satelitów. Śmieci kosmiczne w GEO, w przeciwieństwie do bliskich orbit okołoziemskich, mogą krążyć wokół Ziemi przez tysiąclecia, grożąc kolizją z działającym statkiem kosmicznym. Od końca XX wieku problem zanieczyszczeń GSO stał się planetarnym problemem środowiskowym o dużej skali.
Zgodnie z Międzynarodową Konwencją o Pokojowym Wykorzystaniu Przestrzeni Kosmicznej przy ONZ oraz wymogami Międzynarodowego Komitetu Radiokomunikacyjnego (w celu uniknięcia zakłóceń radiowych z sąsiednimi GSS) odległość kątowa pomiędzy GSS nie powinna być mniejsza niż 0,5°. Zatem teoretycznie liczba GSS znajdujących się w bezpiecznej odległości na GSO nie powinna przekraczać 720 sztuk. W ostatniej dekadzie dystans ten pomiędzy GSS nie był utrzymywany. W roku 2011 liczba skatalogowanych GSS przekroczyła już ponad 1500.
Satelity geostacjonarne są zwykle klasyfikowane jako satelity o okresach od 22 godzin do 26 godzin, mimośrodach „e” nie większych niż 0,3 i nachyleniu płaszczyzny orbity do płaszczyzny równikowej „i” do 15°, ale w niektórych źródłach można znaleźć bardziej szczegółową klasyfikację i sztywniejsze granice.
Klasyfikację GSS można przeprowadzić według kilku kryteriów: według stopnia „aktywności”, celu funkcjonalnego, ruchu orbitalnego. Na podstawie pierwszego znaku wszystkie GSS można podzielić na 2 klasy:
„Aktywny” - posiadający zasoby energetyczne i kontrolowany poleceniami z Ziemi.
„Pasywne” to sztuczne obiekty, nad którymi nie można sterować z Ziemi, w których wyczerpało się paliwo rakietowe i które zostały sklasyfikowane jako śmieci kosmiczne. Są to rakiety nośne, fragmenty stopni umieszczających satelity na orbicie, liczne części towarzyszące wystrzeleniu, fragmenty satelitów powstałych w wyniku eksplozji urządzenia na orbicie, czy zderzeń ze sobą lub z ciałami meteoroidów.
Naukowy.
Geodezyjny.
Meteorologiczny.
Nawigacyjne.
Do celów wojskowych, które są podzielone na kilka podklas (rozpoznanie optyczne, radiowe, radarowe, ostrzeganie przed atakiem rakiet nuklearnych - system wczesnego ostrzegania).
Satelity radiowo-telekomunikacyjne (w tym komercyjne).
Inżynieria.
Satelity na wysokiej orbicie okołoziemskiej (HEO).
Satelity na wysokich orbitach ( VOS(rosyjski) lub „HEO”- z angielskiego " H ej mi art O rbit”) uważa się za satelity osiągające wysokość większą niż 35 786 km nad powierzchnią Ziemi, czyli przelatujące nad satelitami geostacjonarnymi (por. Ryc.23). Orbity mogą mieć znaczny mimośród (na przykład satelity serii Meridian i Molniya) - w tym przypadku nazywane są wysoce eliptycznymi ( WPP) i być prawie okrągłe (przykładowo satelita Vela (te same satelity, na których pod koniec lat 60. XX wieku odkryto rozbłyski gamma)).
 |
|
Ryż. 23. Orbita elektrowni wiatrowej. |
Dla każdego satelity GSS orbitę pogrzebową oblicza się osobno, a minimalne perygeum ΔH wynosi:
, (1)
Gdzie "C R " - współczynnik ciśnienia świetlnego), "S"- obszar satelitarny, "M"- jego masa.
Satelity niskoorbitalne z reaktorami jądrowymi na pokładzie mają wysokość orbity pogrzebowej wynoszącą około 1000 km, na którą rdzeń reaktora jądrowego jest przenoszony po zakończeniu jego pracy.
Orbita statku kosmicznego (ryc. 2.7) to jego tor w polu siły centralnej, wyznaczony przez wpływ grawitacji, natomiast sam statek kosmiczny uważany jest za nieskończenie małe ciało, którego masa jest tak mała w porównaniu z masą ciało centralne, że można uznać, że przyciąga ciało centralne, ale nie przyciąga tego drugiego. Pole siły przyciągania definiuje się zwykle jako pole grawitacyjne wytworzone przez jednorodne i kuliste ciało. W odniesieniu do sztucznych satelitów takim ciałem jest Ziemia wraz z jej polem grawitacyjnym.
Ryż. 2.7. Orbity statku kosmicznego w polu ciała centralnego:
1 - organ centralny;
2- pole siłowe korpusu centralnego;
3- orbita kołowa;
4 - orbita eliptyczna;
5 - orbita paraboliczna; 6- orbita hiperboliczna
Pole sił siły centralnej jest sferycznie symetryczne, a siła przyciągania w każdym z jej punktów jest skierowana promieniowo w stronę środka przyciągania (ryc. 2.7, wielkość strzałek pokazuje wzrost siły ciężkości w miarę zbliżania się do środka masy ciała centralnego zgodnie z prawem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości).
Z materiału z Wykładu 1 wiemy, że ciało poruszające się po orbicie wokół innego ciała podlega trzem prawom Keplera. W tym przypadku interesują nas tylko dwa z nich – pierwszy i trzeci.
Według Pierwsze prawo Keplera, ciało krążące wokół Ziemi (w naszym przypadku) porusza się po elipsie, której jednym z ognisk jest środek Ziemi (ryc. 2.8). W szczególności nie wspomnieliśmy tutaj, że ciało może poruszać się po trzech rodzajach orbit – elipsie, hiperboli i paraboli. Interesują nas tylko orbity okresowe, a jedną z nich jest elipsa.
Ryż. 2.8. Orbita satelity
Elementy elipsy pokazano na ryc. 2.9. F1 i F2 to ogniska elipsy; A– półoś wielka; B– oś półmała; mi– mimośród elipsy, który wyznacza się w następujący sposób:
Zatem pierwszą ważną kwestią jest to, że satelity poruszają się po Ziemi po elipsach.
Według Trzecie prawo Keplera, kwadraty okresów rewolucji T satelity są powiązane jako sześciany ich półosi wielkich
Ryż. 2.9. Elementy elipsy
W najbardziej ogólnym przypadku równanie trajektorii statku kosmicznego jest równaniem ruchu ciała swobodnego w polu siły centralnej, które we współrzędnych biegunowych ma postać równania przekroju stożkowego (ryc. 2.10) :
gdzie jest parametrem przekroju stożkowego;
mi =komputer 1 – mimośród przekroju stożkowego;
Z I Z 1 – stałe całkowania.
Ryż. 2.10. Ruch statku kosmicznego w polu siły centralnej Ziemi:
1 - ciało centralne (Ziemia); 2 - orbita statku kosmicznego;
3 - Kalifornia; 4 - orbita perygeum; R- wektor promienia statku kosmicznego;
V- całkowita prędkość; V r - prędkość promieniowa;
V φ - prędkość poprzeczna
Równanie (2.1) jest równaniem krzywej drugiego rzędu, dla którego konkretny kształt jest określony przez wartość mimośrodu mi= 0 dla koła, mi< 1 dla elipsy (ryc. 2.11), mi = 1 dla paraboli, mi> 1 dla hiperboli.
Ryż. 2.11. Zmiana wyglądu orbity eliptycznej wraz ze wzrostem wartości
ekscentryczność
Końcowym etapem lotu rakiety nośnej jest wystrzelenie statku kosmicznego na orbitę, o której kształcie decyduje ilość energii kinetycznej przekazanej statkowi kosmicznemu przez rakietę nośną, czyli wartość prędkości końcowej tego ostatniego. W takim przypadku wielkość energii kinetycznej przesyłanej przez statek kosmiczny musi być w pewnym stosunku do wielkości energii pola ciała centralnego, która istnieje w danej odległości R od jego środka. Związek ten charakteryzuje się stałą energią H, reprezentujący różnicę między energią pola ciała centralnego a energią kinetyczną statku kosmicznego, który porusza się swobodnie w tym polu w pewnej odległości R od jego środka, tj.
W zależności od wielkości mimośrodu mi stała dla okręgu, H< 0 для эллипса, H= 0 dla paraboli i H> 0 dla hiperboli.
Prędkość końcowa rakiety nośnej, zapewniająca wystrzelenie statku kosmicznego na orbitę w polu grawitacyjnym,
Analiza stałych wielkości energii H, odpowiadające różnym formom orbity statku kosmicznego, a zależność (2.3) pozwala ustalić wartości prędkości końcowych rakiety nośnej, zapewniające lot statku kosmicznego w polu grawitacyjnym na określonej orbicie.
Końcowa prędkość rakiety nośnej musi być równa wystrzeleniu statku kosmicznego na orbitę kołową, - do eliptycznego, - do parabolicznego i - do hiperbolicznego.
Stosowane do orbit kołowych z wartościami R,blisko promienia Ziemi R= 6371 km, końcowa prędkość rakiety nośnej umożliwiająca wystrzelenie statku kosmicznego na orbitę kołową V 0 ~ 7900 m/s. Jest to tak zwana pierwsza prędkość ucieczki. Dla orbit eliptycznych, prędkości końcowe V uh = 7900 ... 11200 m/s.
Statki kosmiczne poruszające się po orbitach kołowych i eliptycznych znajdują się w polu grawitacyjnym i mają ograniczony czas życia. Obecność pozostałości atmosferycznych i innych cząstek materii prowadzi z czasem do zmniejszenia prędkości statku kosmicznego nadawanej im przez rakietę nośną, a hamowanie w polu siłowym Ziemi powoduje ich przedostanie się w gęste warstwy atmosfery i zniszczenie. Głównym czynnikiem determinującym czas życia statku kosmicznego na orbitach kołowych i eliptycznych jest wysokość pierwszego statku i wysokość perygeum drugiego, gdzie następuje główne opóźnienie.
Z energetycznego punktu widzenia lot statku kosmicznego po paraboli charakteryzuje się tzw. drugą prędkością ucieczki, równą V p ≈ 11 200 m/s, co pozwala pokonać grawitację. Ruch po paraboli względem Ziemi jest możliwy tylko przy braku innych sił uderzenia niż siła grawitacji.
Orbity hiperboliczne charakteryzują się prędkościami V r > 11200 m/s, w tym tzw. trzecia prędkość ucieczki, równa V g ≈ 16 700 m/s, to najniższa prędkość początkowa, przy której statek kosmiczny może pokonać nie tylko ziemską, ale także słoneczną grawitację i opuścić Układ Słoneczny.
Orbity hiperboliczne w teorii lotów kosmicznych występują, gdy statek kosmiczny przechodzi z pola grawitacyjnego jednego ciała centralnego do pola grawitacyjnego drugiego, podczas gdy statek kosmiczny wydaje się wyrywać z jednej strefy grawitacyjnej i wkraczać w inną.
Z reguły pojazdy nośne nadają statkowi kosmicznemu tylko pierwszą prędkość ucieczki i umieszczają go na orbicie kołowej lub eliptycznej. Osiąganie drugiej i trzeciej prędkości kosmicznej jest bardziej opłacalne ze względu na energię samego statku kosmicznego, zaczynając w tym przypadku od orbity referencyjnej satelity.
Trajektoria paraboliczna- w astrodynamice i mechanice niebieskiej orbita Keplera, której mimośród jest równy 1. Jeśli ciało oddala się od centrum przyciągającego, taką orbitę nazywa się orbitą ucieczki, jeśli się zbliża, nazywa się ją orbitą przechwytującą; Czasami taką orbitę nazywa się orbitą C3 = 0(patrz Energia charakterystyczna).
Przy standardowych założeniach ciało poruszające się po orbicie ucieczki będzie poruszać się po paraboli do nieskończoności, natomiast prędkość względem ciała centralnego będzie dążyć do zera. W ten sposób ciało obrotowe nie powróci do ciała centralnego. Trajektorie paraboliczne to orbity ucieczki minimalnej energii, oddzielające trajektorie hiperboliczne od orbit eliptycznych.
Prędkość
Przy standardowych założeniach prędkość orbitalna ( v (\ displaystyle v \,)) ciała poruszającego się po trajektorii parabolicznej można obliczyć jako
v = 2 μ r , (\ Displaystyle v = (\ sqrt (2 \ mu \ ponad (r))),)W dowolnym punkcie trajektorii parabolicznej ciało porusza się z prędkością ucieczki dla danego punktu.
Jeśli ciało ma prędkość ucieczki w stosunku do Ziemi, to prędkość ta nie będzie wystarczająca, aby opuścić Układ Słoneczny, zatem chociaż orbita w pobliżu Ziemi będzie miała wygląd paraboliczny, ale w większej odległości od Ziemi orbita będzie zamienić się w eliptyczną orbitę wokół Słońca.
Prędkość ciała ( v (\ displaystyle v \,)) na orbicie parabolicznej wiąże się z prędkością na orbicie kołowej, której promień jest równy długości wektora promienia łączącego ciało na orbicie z ciałem centralnym:
v = 2 ⋅ v o , (\ Displaystyle v = (\ sqrt (2)) \ cdot v_ (o),)Gdzie v o (\ displaystyle v_ (o) \,)- prędkość orbitalna ciała po orbicie kołowej.
Równanie ruchu
Przy standardowych założeniach dla ciała poruszającego się po orbicie parabolicznej równanie orbitalne przyjmuje postać
r = godz 2 μ 1 1 + sałata ν , (\ Displaystyle r = ((h ^ (2)) \ ponad (\ mu)) ((1) \ ponad (1+ \ cos \ nu)),}Energia
Energia ciała na trajektorii parabolicznej ( ϵ (\ displaystyle \ epsilon \,)), na jednostkę masy danego ciała, jest równa zeru, dlatego też prawo zachowania energii dla danej orbity ma postać
ϵ = v 2 2 - μ r = 0 , (\ Displaystyle \ epsilon = (v ^ (2) \ ponad 2) - (\ mu \ ponad (r)) = 0,)Ta równość jest całkowicie równoważna zerowej energii charakterystycznej:
do 3 = 0. (\ displaystyle C_ (3) = 0.)Równanie Barkera
Równanie Barkera wiąże czas ruchu z prawdziwą anomalią punktu na trajektorii parabolicznej:
T - T = 1 2 p 3 μ (re + 1 3 re 3) , (\ Displaystyle t-T = (\ Frac (1) (2)) (\ sqrt (\ Frac (p ^ (3)) (\ mu) ))\lewo(D+(\frac (1)(3))D^(3)\prawo),)
Mówiąc bardziej ogólnie, odstęp czasu pomiędzy dwoma pozycjami ciała na orbicie można wyrazić w następujący sposób: t fa - t 0 = 1 2 p 3 μ (re fa + 1 3 re fa 3 - re 0 - 1 3 re 0 3) . (\ Displaystyle t_ (f) -t_ (0) = (\ Frac (1) (2)) (\ sqrt (\ Frac (p ^ (3)) (\ mu)}) \ lewo (D_ (f) + (\frac (1)(3))D_(f)^(3)-D_(0)-(\frac (1)(3))D_(0)^(3)\right).)
Równanie można zapisać inaczej w odniesieniu do odległości perycentrycznej, w przypadku trajektorii parabolicznej r p = p/2:
T - T = 2 r p 3 μ (re + 1 3 re 3) . (\ Displaystyle t-T = (\ sqrt (\ Frac (2r_ (p) ^ (3)) (\ mu)}) \ lewo (D + (\ Frac (1) (3)) D ^ (3) \ prawo). )
ZA = 3 2 μ 2 r p 3 (t - T) , (\ Displaystyle A = (\ Frac (3) (2)) (\ sqrt (\ Frac (\ mu) (2r_ (p) ^ (3))) )(t-T)) promieniowa trajektoria, po której prędkość względna dwóch obiektów jest zawsze równa prędkości ucieczki. Są dwa przypadki: ciała oddalają się od siebie lub zbliżają się do siebie.
Zależność położenia od czasu ma dość prostą postać:
r = (4,5 μ t 2) 1/3 , (\ Displaystyle r = (4,5 \ mu t ^ (2)) ^ (1/3) \! \,)W dowolnym momencie średnia prędkość od tego czasu jest 1,5-krotnością aktualnej prędkości.
Aby uchwycić chwilę t = 0 (\ displaystyle t = 0 \! \,) odpowiada kontaktowi ciała orbitującego z powierzchnią ciała centralnego, można zastosować przesunięcie czasowe; na przykład dla Ziemi (i innych ciał sferycznie symetrycznych o tej samej średniej gęstości) co ciało centralne, należy zastosować przesunięcie czasowe równe 6 minut i 20 sekund.