연속 확률 변수에 대한 분포 법칙을 지정하기 위한 양식

이산 확률 변수의 분포 법칙을 설정하는 형식

1). 배포 테이블(행) - 이산 확률 변수의 분포 법칙을 지정하는 가장 간단한 형태입니다.

표에는 무작위 변수의 가능한 모든 값이 나열되어 있기 때문입니다.

2). 분포 다각형 . 분포계열을 직교좌표계로 그래픽으로 표현하는 경우, 확률변수의 가능한 모든 값은 가로축에 표시되고, 해당 확률은 세로축에 표시됩니다. 그런 다음 점이 그려지고 직선 세그먼트로 연결됩니다. 결과 그림(분포 다각형)은 이산 확률 변수의 분포 법칙을 지정하는 형태이기도 합니다.

3). 유통 기능 - 확률변수 X가 주어진 x보다 작은 값을 가질 확률, 즉.

.

기하학적 관점에서 볼 때 임의의 지점에 부딪힐 확률로 간주할 수 있습니다. 엑스고정점 왼쪽에 위치한 숫자 축의 단면으로 엑스.

2) ; ;

과제 2.1.임의의 값 엑스- 3발의 표적에 대한 명중 횟수(문제 1.5 참조). 분포 계열, 분포 다각형을 구성하고 분포 함수 값을 계산하여 그래프를 구성합니다.

해결책:

1) 확률변수의 분포계열 엑스표에 제시된

~에	,
~에	,
~에	,
~에
~에	.

가로축에 값을 플롯 엑스,세로축을 따라 - 값을 선택하고 특정 척도를 선택하여 분포 함수 그래프를 얻습니다 (그림 2.2). 이산 확률 변수의 분포 함수는 확률 변수가 다음과 같은 점에서 점프(불연속)를 갖습니다. 엑스배포 테이블에 지정된 특정 값을 사용합니다. 분포 함수의 모든 점프의 합은 1과 같습니다.

쌀. 2.2 - 이산 값의 분포 함수

1). 유통 기능 .

연속확률변수의 경우 분포함수 그래프(그림 2.3)는 완만한 곡선의 형태를 띤다.

분포 함수의 속성:

c) 만일 .

쌀. 2.3 - 연속 값의 분포 함수

2). 분포 밀도 ~로써 정의 된 분포 함수의 미분, 즉

.

랜덤 변수의 분포 밀도를 나타내는 곡선, 라고 불리는 분포 곡선 (그림 2.4).

밀도 속성:

그리고 그것들. 밀도는 음수가 아닌 함수입니다.

b) 즉, 지역 제한 분포 곡선 x축은 항상 1입니다.

확률변수의 가능한 모든 값이 엑스범위 ㅏ~ 전에 비, 밀도의 두 번째 속성은 다음과 같은 형식을 취합니다.

쌀. 2.4 - 분포 곡선

실제로는 확률변수가 나올 확률을 알아야 하는 경우가 많습니다. 엑스예를 들어 a에서 b까지 특정 한도 내에서 값을 취합니다. 필요한 확률은 이산확률변수 엑스공식에 의해 결정됨

연속 확률 변수의 개별 값에 대한 확률은 0이므로: .

연속확률변수에 부딪힐 확률 엑스간격 (a,b)는 다음 식으로도 결정됩니다.

문제 2.3.임의의 값 엑스분포 함수에 의해 주어진다

밀도와 테스트 결과가 랜덤 변수일 확률을 구합니다. 엑스간격에 포함된 값을 사용합니다.

해결책:

2. 랜덤변수에 부딪힐 확률 엑스간격은 공식에 의해 결정됩니다. 과 를 취하면 우리는 발견합니다.

확률변수의 분포함수를 찾아보자 엑스, 정규 분포 법칙에 따라:

적분을 변경하여 다음 형식으로 가져오겠습니다.

.

완전한 는 기본 함수로 표현되지 않으나, 또는 의 정적분을 표현하는 특수 함수를 통해 계산할 수 있습니다. 함수를 표현해보자 Laplace 함수 Ф(х)를 통해:

.

확률 변수 X가 영역 (α, β)에 포함될 확률은 다음 공식으로 표현됩니다.

.

마지막 공식을 사용하면 미리 결정된 임의의 작은 양수 값 ε에 의해 수학적 기대에서 벗어나는 정규 확률 변수의 확률을 추정할 수 있습니다.

.

, 그리고 . ~에 티=3 우리는 얻습니다. 즉, 정규분포 확률변수의 수학적 기대치로부터의 편차가 더 작을 것이라는 사실은 실질적으로 확실합니다.

이것은 3시그마 법칙: 무작위 변수가 정규 분포를 따르는 경우 수학적 기대값과의 편차의 절대값은 표준 편차의 3배를 초과하지 않습니다.

일.작업장에서 생산되는 부품의 직경을 정규분포를 갖는 확률변수로 두고, m = 4.5cm, cm 무작위로 취한 부품의 직경이 수학적 기대치와 1mm 이하로 다를 확률을 구합니다.

해결책. 이 문제는 원하는 확률을 결정하는 매개변수의 다음 값이 특징입니다. , F(0.2)=0.0793,

통제 질문

1. 균일하다고 불리는 확률 분포는 무엇입니까?

2. 구간 [에 균일하게 분포된 확률변수의 분포함수의 형태는 무엇입니까? ㅏ; 비]?

3. 균일하게 분포된 확률 변수 값이 주어진 간격 내에 포함될 확률을 계산하는 방법은 무엇입니까?

4. 확률변수의 지수분포는 어떻게 결정되나요?

5. 지수법칙에 따라 분포된 확률변수의 분포함수는 어떤 형태를 가지고 있나요?

6. 정규라고 불리는 확률 분포는 무엇입니까?

7. 정규분포 밀도에는 어떤 속성이 있나요? 정규분포의 모수는 정규분포 밀도 그래프의 모양에 어떤 영향을 줍니까?

8. 주어진 간격 내에 정규 분포 확률 변수 값이 포함될 확률을 계산하는 방법은 무엇입니까?

9. 정규 분포 확률 변수 값이 수학적 기대치에서 벗어날 확률을 계산하는 방법은 무엇입니까?

10. "3 시그마" 규칙을 공식화합니까?

11. 세그먼트의 균일한 법칙에 따라 분포된 확률 변수의 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차는 무엇입니까 [ ㅏ; 비]?

12. 매개변수 λ를 갖는 지수법칙에 따라 분포된 확률변수의 수학적 기대값, 분산 및 표준편차는 무엇입니까?

13. 매개변수가 있는 정규법칙에 따라 분포된 확률변수의 수학적 기대값, 분산 및 표준편차는 무엇입니까? 중그리고 ?

테스트 작업

1. 무작위 변수 엑스구간 [−3, 5]에 균일하게 분포됩니다. 분포 밀도와 분포 함수 찾기 엑스. 두 함수의 그래프를 구성합니다. 확률과 를 구합니다. 기대값, 분산, 표준편차 계산 엑스.

2. 21번 노선의 버스는 10분 간격으로 정기적으로 운행됩니다. 승객이 임의의 시간에 정류장에서 내립니다. 무작위 변수를 고려하십시오 엑스- 승객이 버스를 기다리는 시간(분). 분포 밀도와 분포 함수 찾기 엑스. 두 함수의 그래프를 구성합니다. 승객이 버스를 5분 이상 기다려야 할 확률을 구하십시오. 평균 버스 대기 시간과 버스 대기 시간의 분산을 구합니다.

3. VCR의 수리시간(일수)은 확률변수임이 확립되었다. 엑스, 지수법칙에 따라 분포됩니다. VCR의 평균 수리 시간은 10일입니다. 분포 밀도와 분포 함수 찾기 엑스. 두 함수의 그래프를 구성합니다. VCR을 수리하는 데 최소 11일이 걸릴 확률을 구하십시오.

4. 확률변수의 밀도 그래프와 분포함수 그리기 엑스, 매개변수를 사용하여 정규법칙에 따라 분포됩니다. 중= = − 2 및 = 0.2.

정규확률변수의 주어진 구간에 속할 확률

확률 변수 X가 분포 밀도 f(x)로 주어지면 X가 구간 (a, b)에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같다는 것은 이미 알려져 있습니다.

확률변수 X가 정규법칙에 따라 분포된다고 가정합니다. 그러면 X가 구간 (a,b)에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다.

미리 만들어진 테이블을 사용할 수 있도록 이 수식을 변환해 보겠습니다. 새로운 변수 z = (x--а)/--s를 도입해 보겠습니다. 따라서 x = sz+a, dx = sdz입니다. 통합의 새로운 한계를 찾아봅시다. x= a이면 z=(a-a)/--s; x = b이면 z = (ba)/--s입니다.

따라서 우리는

라플라스 함수 사용

우리는 마침내 그것을 얻을 것이다

무작위 사건의 확률 계산

14개 부품 배치에는 2개의 비표준 부품이 있습니다. 3개 항목이 무작위로 선택되었습니다. 무작위 변수 X(선택한 부품 중 표준 부품 수)에 대한 분포 법칙을 작성합니다. 수치적 특성을 찾아보세요. 해결책은 뻔하다...

옥양목 스트립의 인장강도 연구

그들은 말한다 ...

알려지지 않은 분포 모수를 추정하는 방법

확률 변수 X가 분포 밀도로 주어지면 X가 구간에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다. 확률 변수 X를 정규 분포로 둡니다. 그러면 X가 그 값을 취할 확률은...

연속확률변수

x 지점에서 확률 변수 X의 확률 분포 함수 F(x)는 실험 결과, 확률 변수가 x보다 작은 값을 취할 확률입니다. 즉, 에프(엑스)=피(엑스< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

연속확률변수. 정규분포법칙

분포 밀도를 알면 연속 확률 변수가 주어진 구간에 속하는 값을 취할 확률을 계산할 수 있습니다. 계산은 다음 정리를 기반으로 합니다. 정리. 가능성은...

최종 수학적 기대 mx=5 표준편차 yx=3 표본크기 n=335 신뢰확률 r=0.95 유의수준 선택된 값의 개수 N=13 확률변수의 모델링...

정적 시스템 모델링

정적 시스템 모델링

3. 랜덤 프로세스의 통계적 특성 추정 문제는 섹션별로 결정됩니다.

정적 시스템 모델링

분포: f(x)=b(3-x), b>0 분포 경계 1

정적 시스템 모델링

확률변수란 무엇인가

확률 변수 이론 확률 위에서 논의한 확률 변수의 분포 규칙은 다음과 같은 사실로 인해 이산량과 관련해서만 유효합니다.

확률 이론의 요소

실제 적용의 관점에서 중요한 문제를 생각해 보겠습니다. 분포 밀도를 갖는 연속 확률 변수가 있다고 가정합니다. 우리는 다음 관계와 관련된 수량의 분포 밀도를 찾는 문제에 관심이 있습니다....

쌀. 4. 정규분포의 밀도.

예 6. 밀도에 따른 확률변수의 수치적 특성 결정을 예를 사용하여 고려합니다. 연속 확률 변수는 밀도로 제공됩니다.

분포 유형을 결정하고 수학적 기대값 M(X)와 분산 D(X)를 찾습니다.

해결책. 주어진 분포 밀도를 (1.16)과 비교하면 m=4인 정규 분포 법칙이 주어진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 수학적 기대는

M(X)=4, 분산 D(X)=9.

표준편차 σ =3.

정규 분포 함수(1.17)는 다음과 같은 형식을 갖는 Laplace 함수와 관련됩니다.

관계: Φ (− x) = −Φ (x). (라플라스 함수는 홀수입니다.) 함수 f(x) 및 Ф(х)의 값은 표를 사용하여 계산할 수 있습니다.

연속 확률 변수의 정규 분포는 확률 이론과 현실을 설명하는 데 중요한 역할을 하며 무작위 자연 현상에 매우 널리 퍼져 있습니다. 실제로 우리는 많은 무작위 항을 합한 결과 정확하게 형성된 무작위 변수를 자주 접합니다. 특히, 측정오류를 분석해 보면, 이는 다양한 유형의 오류가 합산된 것임을 알 수 있습니다. 실습에서는 측정 오류의 확률 분포가 정규 법칙에 가깝다는 것을 보여줍니다.

라플라스 함수를 사용하면 정규 확률 변수가 주어진 구간과 편차에 포함될 확률을 계산하는 문제를 해결할 수 있습니다.

3.4. 정규확률변수의 주어진 구간에 속할 확률

확률 변수 X가 분포 밀도 f(x)로 주어지면 X가 주어진 구간에 속하는 값을 취할 확률은 공식 (1.9a)를 사용하여 계산됩니다. 정규 분포 N(a, σ)에 대해 (1.16)의 분포 밀도 값을 공식 (1.9a)에 대입하고 일련의 변환을 수행하면 X가 주어진 구간에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다. 에게:

P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = Φ(x 2 σ − a )

여기서: a는 수학적 기대값입니다.

−Φ(	x1-a

예제 7. 확률 변수 X는 정규 법칙에 따라 분포됩니다. 수학적 기대값 a=60, 표준 편차 σ =20. 랜덤 변수 X가 주어진 구간(30;90)에 포함될 확률을 구합니다.

해결책. 원하는 확률은 공식(1.18)을 사용하여 계산됩니다.

우리는 다음을 얻습니다: P(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

부록 1의 표에 따르면: Ф(1.5) = 0.4332.. P(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

확률 변수 X가 주어진 구간(30; 90)에 포함될 확률은 다음과 같습니다. P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. 정규 확률 변수의 주어진 편차 확률 계산

주어진 값에서 정규 확률 변수의 편차 확률을 계산하는 문제는 다양한 유형의 오류(측정, 가중치)와 관련이 있습니다. 다양한 종류의 오류는 변수 ε으로 표시됩니다.

ε를 정규 분포 확률 변수 X의 절댓값 편차로 설정합니다. 수학적 기대값에서 랜덤 변수 X의 편차가 주어진 값 ε을 초과하지 않을 확률을 찾는 것이 필요합니다. 이 확률은 P(|X–a| ≤ ε )로 작성됩니다. 공식 (1.18)에서 세그먼트 [x1; x2 ]는 수학적 기대값 a에 대해 대칭입니다. 따라서: a–х1 =ε; x2 –a =ε. 이러한 표현식을 추가하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. x2 – x1 =2ε. 구간의 경계 [x1; x2 ]는 다음과 같습니다:

x1 =a –ε; x2 =a + ε.

(1.19)의 x1, x2 값은 (1.18)의 우변에 대입되고 중괄호 안의 표현식은 두 가지 부등식의 형태로 다시 작성됩니다.

1) x 1 ≤ X (1.19)에 따라 x1을 바꾸면 a–ε ≤ X 또는 a–X ≤ ε로 나타납니다.

2) X ≤ x 2, 마찬가지로 x2를 대체하면 X ≤ a+ε 또는 X–a ≤ ε로 나타납니다.

예 8. 부품의 직경을 측정합니다. 무작위 측정 오류는 무작위 변수 X로 간주되며 수학적 기대값 a=0, 표준 편차 σ =1mm를 갖는 정규 법칙의 적용을 받습니다. 절대값이 2mm를 초과하지 않는 오차로 측정이 이루어질 확률을 구하십시오.

해결책. 주어진 값: ε =2, σ =1mm, a=0.

공식(5.20)에 따르면: P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

절대값이 1mm를 초과하지 않는 오류로 측정이 이루어질 확률은 다음과 같습니다.

P (|X| ≤ ε ) = 2 0.4772 = 0.9544.

예 9. 매개변수 a=50 및 σ =15를 사용하여 정규 법칙에 따라 분포된 확률 변수. 수학적 기대값 a에서 임의 변수의 편차가 5보다 작을 확률을 구합니다. 즉, P(|X–a|<5).

해결책. (1.18)을 고려하면 다음과 같습니다. P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

정규확률변수의 분산.

분산확률 변수는 해당 중심 확률 변수의 제곱에 대한 수학적 기대값입니다.

수학적 기대치와 관련하여 무작위 변수 값의 분산 정도를 나타냅니다. 값 범위의 너비.

계산 공식:

분산은 두 번째 초기 순간을 통해 계산할 수 있습니다.

(6.10)

무작위 변수의 분산은 수학적 기대와 관련하여 무작위 변수 값의 분산(분산) 정도를 나타냅니다. SV의 분산(이산형 및 연속형 모두)은 무작위가 아닌(일정한) 양입니다.

SV의 분산은 확률변수의 제곱의 차원을 갖습니다. 명확성을 위해 분산 특성은 SV 치수와 일치하는 치수의 값으로 사용됩니다.

표준편차(RMS)북동쪽 엑스특성이라고 불리는

. (6.11)

RMSE는 SV와 동일한 물리적 단위로 측정되며 SV 값 범위의 폭을 나타냅니다.

분산 특성

상수값의 분산 와 함께 0과 같습니다.

증거: 분산의 정의에 따라

무작위 변수에 추가되면 엑스무작위가 아닌 값 와 함께그 분산은 변하지 않습니다.

디[엑스+씨] = 디[엑스].

증거: 분산의 정의에 따라

(6.12)

3. 확률변수를 곱할 때 엑스무작위가 아닌 금액으로 와 함께그 차이는 다음과 같이 곱해집니다. 2부터.

증거: 분산의 정의에 따라

. (6.13)

표준편차의 경우 이 속성의 형식은 다음과 같습니다.

(6.14)

실제로 ½С½>1의 경우 cX 값은 X 값보다 더 큰 가능한 값(절대값)을 갖습니다. 결과적으로 이러한 값은 수학적 기대값 주위에 흩어져 있습니다. 중[cX] 가능한 값보다 큼 엑스약 중[엑스], 즉. . 0이면<½с½<1, то .

규칙 3s.대부분의 확률 변수 값의 경우 수학적 기대치와의 편차의 절대 값은 표준 편차의 3배를 초과하지 않습니다. 즉, SV의 거의 모든 값이 다음 간격에 있습니다.

[ 중 - 3에스; 중 + 3 에스; ].(6.15)

정규확률변수의 주어진 구간에 속할 확률

이미 확립된 바와 같이, 연속 확률 변수가 간격에 속하는 값을 취할 확률은 적절한 한계 내에서 취해지는 분포 밀도의 특정 적분과 같습니다.
.
정규 분포 확률 변수에 대해 우리는 각각 다음을 얻습니다.
.
새 변수를 도입하여 마지막 표현식을 변환해 보겠습니다. . 따라서 적분 아래 표현식의 지수는 다음과 같이 변환됩니다.
.
정적분에서 변수를 대체하려면 이전에 대체 공식에서 변수를 표현한 미분과 적분의 한계를 대체해야 합니다.
;
;
– 통합의 하한
- 통합의 상한선;
(새 변수에 대한 적분 한계를 찾기 위해 기존 변수에 대한 적분 한계를 변수 대체 공식으로 대체했습니다.)
확률을 찾기 위해 모든 것을 마지막 공식에 대입해 보겠습니다.


어디 – 라플라스 함수.
결론: 정규 분포 확률 변수가 해당 구간에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다.
,
여기서 는 수학적 기대값이고 는 주어진 확률 변수의 표준 편차입니다.

23. 카이제곱, 학생 및 피셔 분포

정규분포를 사용하여 현재 통계 데이터 처리에 자주 사용되는 세 가지 분포를 정의합니다. 이러한 분포는 이 책의 뒷부분에서 여러 번 나타납니다.

피어슨 분포(카이-제곱) – 확률 변수 분포

무작위 변수는 어디에 있습니까? X 1, X 2,…, X n독립적이고 동일한 분포를 가짐 N(0,1). 이 경우 용어의 수, 즉 N, 카이제곱 분포의 "자유도"라고 합니다.

카이제곱 분포는 분산을 추정할 때(신뢰 구간 사용), 주로 유한한 수의 값을 사용하는 정성적(범주화된) 변수에 대한 일치, 동질성, 독립성에 대한 가설을 테스트할 때 및 통계 데이터의 기타 여러 작업에서 사용됩니다. 분석.

분포 티스튜던트 t는 랜덤 변수의 분포입니다.

무작위 변수는 어디에 있습니까? 유그리고 엑스독립적인, 유표준정규분포를 가지고 있다 N(0.1) 및 엑스– 카이 분포 – 정사각형 c N자유도. 여기서 N학생 분포의 "자유도 수"라고 합니다.

학생 분포는 맥주 공장에서 일했던 영국 통계학자 W. Gosset에 의해 1908년에 도입되었습니다. 이 공장에서는 경제적, 기술적 결정을 내리기 위해 확률론적, 통계적 방법이 사용되었으므로 경영진은 V. Gosset이 자신의 이름으로 과학 기사를 출판하는 것을 금지했습니다. 이러한 방식으로 V. Gosset이 개발한 확률적, 통계적 방법 형태의 영업 비밀과 "노하우"가 보호되었습니다. 그러나 그는 "학생"이라는 가명으로 출판할 기회를 가졌습니다. Gosset-Student의 역사를 보면 심지어 100년 전에도 영국의 관리자들은 확률적 통계적 방법의 경제적 효율성이 더 크다는 것을 알고 있었습니다.

현재 Student 분포는 실제 데이터 분석에 사용되는 가장 잘 알려진 분포 중 하나입니다. 신뢰 구간을 사용하여 수학적 기대값, 예측값 및 기타 특성을 추정할 때, 수학적 기대값에 대한 가설 테스트, 회귀 계수, 표본 동질성 가설 등에 사용됩니다. .