OBRASCI ZA SPECIFIKACIJU ZAKONA DISTRIBUCIJE ZA KONTINUALNE SLUČAJNE VARIJABLE

OBLICI POSTAVLJANJA ZAKONA DISTRIBUCIJE DISKRETNIH SLUČAJNIH VARIJABLI

1). Tablica distribucije (redak) - najjednostavniji oblik specificiranja zakona raspodjele diskretnih slučajnih varijabli.

Budući da su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable.

2). Distribucijski poligon . Prilikom grafičkog prikaza niza distribucije u pravokutnom koordinatnom sustavu, sve moguće vrijednosti slučajne varijable iscrtavaju se duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti se iscrtavaju duž ordinatne osi. Zatim se točke crtaju i povezuju ravnim segmentima. Dobivena figura - poligon distribucije - također je oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable.

3). Funkcija distribucije - vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od nekog zadanog x, tj.

.

S geometrijske točke gledišta, to se može smatrati vjerojatnošću pogađanja slučajne točke x na dio brojčane osi koji se nalazi lijevo od fiksne točke X.

2) ; ;

Zadatak 2.1. Slučajna vrijednost x- broj pogodaka u metu s 3 hica (vidi zadatak 1.5). Konstruirajte niz distribucije, poligon distribucije, izračunajte vrijednosti funkcije distribucije i konstruirajte njezin graf.

Riješenje:

1) Niz distribucije slučajne varijable x predstavljeni u tablici

Na	,
Na	,
Na	,
Na
na	.

Iscrtavanje vrijednosti na apscisnoj osi X, a duž ordinatne osi - vrijednosti i odabirom određenog mjerila dobivamo graf funkcije distribucije (sl. 2.2). Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable ima skokove (diskontinuitete) u onim točkama u kojima slučajna varijabla x uzima određene vrijednosti navedene u tablici distribucije. Zbroj svih skokova u funkciji distribucije jednak je jedan.

Riža. 2.2 - Funkcija distribucije diskretne vrijednosti

1). Funkcija distribucije .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, graf funkcije distribucije (slika 2.3) ima oblik glatke krivulje.

Svojstva funkcije distribucije:

c) ako .

Riža. 2.3 - Funkcija distribucije kontinuirane vrijednosti

2). Gustoća distribucije je definiran kao izvod funkcije distribucije, tj.

.

Krivulja koja prikazuje gustoću distribucije slučajne varijable, nazvao distribucijska krivulja (Slika 2.4).

Svojstva gustoće:

i one. gustoća je nenegativna funkcija;

b), tj. područje ograničeno distribucijska krivulja a x-os je uvijek jednaka 1.

Ako su sve moguće vrijednosti slučajne varijable x u rasponu od a prije b, tada će drugo svojstvo gustoće imati oblik:

Riža. 2.4 - Krivulja distribucije

U praksi je često potrebno poznavati vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednost unutar nekog raspona, na primjer, od a do b. Tražena vjerojatnost za diskretna slučajna varijabla x određena formulom

budući da je vjerojatnost bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nula: .

Vjerojatnost pogađanja kontinuirane slučajne varijable x intervalu (a,b) također je određena izrazom:

Problem 2.3. Slučajna vrijednost x dana funkcijom distribucije

Odredite gustoću, kao i vjerojatnost da je rezultat testa slučajna varijabla xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu.

Riješenje:

2. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable x u intervalu određuje se formulom. Uzimajući i , nalazimo

Nađimo funkciju distribucije slučajne varijable x, predmet normalnog zakona distribucije:

Napravimo promjenu u integralu i dovedemo ga u oblik:

.

Sastavni nije izražen kroz elementarne funkcije, ali se može izračunati kroz posebnu funkciju koja izražava određeni integral izraza ili . Izrazimo funkciju preko Laplaceove funkcije F(h):

.

Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u područje (α, β) izražava se formulom:

.

Koristeći posljednju formulu, možete procijeniti vjerojatnost da normalna slučajna varijabla odstupa od svog matematičkog očekivanja za unaprijed određenu proizvoljno malu pozitivnu vrijednost ε:

.

Neka , zatim i . Na t=3 dobivamo, tj. slučaj da će odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable od matematičkog očekivanja biti manje je praktički izvjestan.

Ovo je pravilo tri sigme: ako je slučajna varijabla normalno raspoređena, tada apsolutna vrijednost odstupanja njezinih vrijednosti od matematičkog očekivanja ne prelazi tri puta standardnu ​​devijaciju.

Zadatak. Neka je promjer dijela koji proizvodi radionica slučajna varijabla normalno raspodijeljena, m = 4,5 cm, cm Odredite vjerojatnost da se promjer slučajno uzetog dijela razlikuje od njegovog matematičkog očekivanja za najviše 1 mm.

Riješenje. Ovaj problem karakteriziraju sljedeće vrijednosti parametara koji određuju željenu vjerojatnost: , , F(0,2)=0,0793,

Kontrolna pitanja

1. Koja se distribucija vjerojatnosti naziva uniformnom?

2. Kakav je oblik funkcije distribucije slučajne varijable jednoliko raspoređene na intervalu [ A; b]?

3. Kako izračunati vjerojatnost da vrijednosti jednoliko raspodijeljene slučajne varijable padnu unutar zadanog intervala?

4. Kako se određuje eksponencijalna distribucija slučajne varijable?

5. Kakav oblik ima funkcija raspodjele slučajne varijable raspodijeljena po eksponencijalnom zakonu?

6. Koja se distribucija vjerojatnosti naziva normalnom?

7. Koja svojstva ima normalna gustoća raspodjele? Kako parametri normalne distribucije utječu na izgled grafa gustoće normalne distribucije?

8. Kako izračunati vjerojatnost da vrijednosti normalno raspodijeljene slučajne varijable padnu unutar zadanog intervala?

9. Kako izračunati vjerojatnost odstupanja vrijednosti normalno distribuirane slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja?

10. Formulirajte pravilo “tri sigme”?

11. Što su matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable raspoređene prema jedinstvenom zakonu na segmentu [ A; b]?

12. Što su matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija slučajne varijable raspoređene prema eksponencijalnom zakonu s parametrom λ?

13. Što su matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable raspodijeljene prema normalnom zakonu s parametrima m i ?

Testni zadaci

1. Slučajna varijabla x ravnomjerno raspoređen na intervalu [−3, 5]. Pronađite gustoću distribucije i funkciju distribucije x. Konstruirajte grafove obiju funkcija. Pronađite vjerojatnosti i . Izračunajte očekivanu vrijednost, varijancu i standardnu ​​devijaciju x.

2. Autobusi na liniji br. 21 voze redovno u intervalima od 10 minuta. Putnik izlazi na stanici u slučajno određeno vrijeme. Uzimajući u obzir slučajnu varijablu x− vrijeme čekanja putnika na autobus (u minutama). Pronađite gustoću distribucije i funkciju distribucije x. Konstruirajte grafove obiju funkcija. Nađite vjerojatnost da će putnik morati čekati autobus najviše pet minuta. Pronađite prosječno vrijeme čekanja autobusa i varijancu vremena čekanja autobusa.

3. Utvrđeno je da je vrijeme popravka videorekordera (u danima) slučajna varijabla x, raspodijeljen prema eksponencijalnom zakonu. Prosječno vrijeme popravka videorekordera je 10 dana. Pronađite gustoću distribucije i funkciju distribucije x. Konstruirajte grafove obiju funkcija. Nađite vjerojatnost da će za popravak videorekordera trebati najmanje 11 dana.

4. Nacrtati grafove gustoće i funkcije distribucije slučajne varijable x, raspodijeljen prema normalnom zakonu s parametrima m= = − 2 i = 0,2.

Vjerojatnost pada u zadani interval normalne slučajne varijable

Već je poznato da ako je slučajna varijabla X dana gustoćom distribucije f (x), tada je vjerojatnost da X poprimi vrijednost koja pripada intervalu (a, b) sljedeća:

Neka je slučajna varijabla X raspodijeljena prema normalnom zakonu. Tada je vjerojatnost da X poprimi vrijednost koja pripada intervalu (a,b) jednaka

Preobrazimo ovu formulu tako da možete koristiti gotove tablice. Uvedimo novu varijablu z = (x--a)/--s. Stoga je x = sz+a, dx = sdz. Pronađimo nove granice integracije. Ako je x= a, tada je z=(a-a)/--s; ako je x = b, tada je z = (b-a)/--s.

Tako imamo

Korištenje Laplaceove funkcije

konačno ćemo ga dobiti

Izračunavanje vjerojatnosti slučajnog događaja

U seriji od 14 dijelova nalaze se 2 nestandardna dijela. Nasumično su odabrane 3 stavke. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj standardnih dijelova među odabranima. Pronađite numeričke karakteristike, . Rješenje je očito...

Istraživanje vlačne čvrstoće kaliko traka

Oni kažu...

Metode procjene nepoznatih parametara distribucije

Ako je slučajna varijabla X dana gustoćom distribucije, tada je vjerojatnost da će X uzeti vrijednost koja pripada intervalu sljedeća: Neka je slučajna varijabla X raspodijeljena prema normalnom zakonu. Tada je vjerojatnost da će X uzeti vrijednost...

Kontinuirana slučajna varijabla

Funkcija distribucije vjerojatnosti F(x) slučajne varijable X u točki x je vjerojatnost da će, kao rezultat eksperimenta, slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

Kontinuirane slučajne varijable. Zakon normalne distribucije

Poznavajući gustoću distribucije, možete izračunati vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja pripada danom intervalu. Izračun se temelji na sljedećem teoremu. Teorema. Vjerojatnost...

Konačno matematičko očekivanje mx=5 Standardna devijacija yx=3 Veličina uzorka n=335 Vjerojatnost pouzdanosti r=0,95 Razina značajnosti Broj odabranih vrijednosti N=13 Modeliranje slučajne varijable...

Statičko modeliranje sustava

Statičko modeliranje sustava

3. Procjena statističkih karakteristika slučajnog procesa određuje se prema dionicama...

Statičko modeliranje sustava

Distribucija: f(x)=b(3-x), b>0 Granice distribucije 1

Statičko modeliranje sustava

Što je slučajna varijabla

vjerojatnost teorije slučajne varijable Pravila distribucije slučajne varijable o kojima se govori gore vrijede samo u odnosu na diskretne veličine, zbog činjenice...

Elementi teorije vjerojatnosti

Razmotrimo problem koji je važan sa stajališta praktične primjene. Neka postoji kontinuirana slučajna varijabla s gustoćom distribucije. Zanima nas problem pronalaženja gustoće raspodjele veličine povezane s relacijom:...

Riža. 4. Gustoća normalne distribucije.

Primjer 6. Na primjeru se razmatra određivanje numeričkih karakteristika slučajne varijable njezinom gustoćom. Kontinuirana slučajna varijabla dana je gustoćom

Odrediti tip distribucije, pronaći matematičko očekivanje M(X) i varijancu D(X).

Riješenje. Uspoređujući zadanu gustoću raspodjele s (1.16), možemo zaključiti da je dan normalni zakon raspodjele s m=4. Dakle, matematičko očekivanje

M(X)=4, varijanca D(X)=9.

Standardna devijacija σ =3.

Funkcija normalne distribucije (1.17) povezana je s Laplaceovom funkcijom koja ima oblik:

relacija: Φ (− x) = −Φ (x). (Laplaceova funkcija je neparna). Vrijednosti funkcija f(x) i F(h) mogu se izračunati pomoću tablice.

Normalna distribucija kontinuirane slučajne varijable igra važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i u opisivanju stvarnosti; vrlo je raširena u slučajnim prirodnim pojavama. U praksi se vrlo često susrećemo sa slučajnim varijablama koje nastaju upravo kao rezultat zbrajanja mnogih slučajnih članova. Konkretno, analiza pogrešaka mjerenja pokazuje da su one zbroj raznih vrsta pogrešaka. Praksa pokazuje da je distribucija vjerojatnosti pogrešaka mjerenja bliska normalnom zakonu.

Pomoću Laplaceove funkcije možete riješiti problem izračuna vjerojatnosti upadanja u zadani interval i zadano odstupanje normalne slučajne varijable.

3.4. Vjerojatnost pada u zadani interval normalne slučajne varijable

Ako je slučajna varijabla X dana gustoćom distribucije f(x), tada se vjerojatnost da će X uzeti vrijednost koja pripada danom intervalu izračunava pomoću formule (1.9a). Zamjenom u formulu (1.9a) vrijednosti gustoće distribucije iz (1.16) za normalnu distribuciju N(a, σ) i izvođenjem niza transformacija, vjerojatnost da će X uzeti vrijednost koja pripada zadanom intervalu bit će jednaka do:

P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = Φ(x 2 σ − a )

gdje je: a matematičko očekivanje.

−Φ(	x1 − a

Primjer 7. Slučajna varijabla X raspodijeljena je prema normalnom zakonu. Matematičko očekivanje a=60, standardna devijacija σ =20. Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u zadani interval (30;90).

Riješenje. Željena vjerojatnost izračunava se pomoću formule (1.18).

Dobivamo: P(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

Prema tablici u Dodatku 1: F(1,5) = 0,4332.. P(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u zadani interval (30; 90) jednaka je: P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. Izračunavanje vjerojatnosti zadanog odstupanja normalne slučajne varijable

Problemi izračunavanja vjerojatnosti odstupanja normalne slučajne varijable od zadane vrijednosti povezani su s različitim vrstama pogrešaka (mjerenje, vaganje). Pogreške raznih vrsta označavaju se varijablom ε.

Neka je ε odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable X u apsolutnoj vrijednosti. Potrebno je pronaći vjerojatnost da odstupanje slučajne varijable X od matematičkog očekivanja neće prijeći zadanu vrijednost ε. Ova vjerojatnost je zapisana kao: P(|X–a| ≤ ε ). Pretpostavlja se da je u formuli (1.18) segment [x1; x2 ] je simetričan u odnosu na matematičko očekivanje a. Dakle: a–h1 =ε; x2 –a =ε. Zbrojimo li ove izraze, možemo napisati: x2 – x1 =2ε. Granice intervala [x1; x2 ] će ​​izgledati ovako:

x1 =a –ε; x2 =a + ε.

Vrijednosti x1, x2 iz (1.19) zamjenjuju se u desnu stranu (1.18), a izraz u vitičastim zagradama prepisuje se u obliku dvije nejednakosti:

1) x 1 ≤ X i zamijeni x1 u njemu prema (1.19), ispada: a–ε ≤ X ili a–X ≤ ε.

2) X ≤ x 2, na sličan način zamijenite x2, ispada: X ≤ a+ε ili X–a ≤ ε.

Primjer 8. Mjeri se promjer dijela. Slučajne pogreške mjerenja uzimaju se kao slučajna varijabla X i podliježu normalnom zakonu s matematičkim očekivanjem a=0, sa standardnom devijacijom σ =1 mm. Odredite vjerojatnost da će mjerenje biti obavljeno s pogreškom koja u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi 2 mm.

Riješenje. Dato je: ε =2, σ =1mm, a=0.

Prema formuli (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2F(ε /σ ) = 2F(2/1) = 2F(2,0).

Vjerojatnost da će mjerenje biti napravljeno s pogreškom koja ne prelazi 1 mm u apsolutnoj vrijednosti je:

P (|X| ≤ ε ) = 2 0,4772 = 0,9544.

Primjer 9. Slučajna varijabla raspodijeljena po normalnom zakonu s parametrima: a=50 i σ =15. Nađite vjerojatnost da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja - a biti manje od 5, tj. P(|X–a|<5).

Riješenje. Uzimajući u obzir (1.18) imat ćemo: P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

Varijanca normalne slučajne varijable.

Disperzija slučajna varijabla je matematičko očekivanje kvadrata odgovarajuće centrirane slučajne varijable.

Karakterizira stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njezino matematičko očekivanje, tj. širina raspona vrijednosti.

Formule za izračun:

Varijanca se može izračunati kroz drugi početni trenutak:

(6.10)

Disperzija slučajne varijable karakterizira stupanj disperzije (raspršenosti) vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njezino matematičko očekivanje. Varijanca SV (i diskretna i kontinuirana) je neslučajna (konstantna) veličina.

Varijanca SV ima dimenziju kvadrata slučajne varijable. Radi jasnoće, karakteristike disperzije koriste se s vrijednošću čija se dimenzija podudara s dimenzijom SV.

Standardna devijacija (RMS) NE x naziva karakterističnim

. (6.11)

RMSE se mjeri u istim fizičkim jedinicama kao i SV i karakterizira širinu raspona vrijednosti SV.

Disperzijska svojstva

Varijanca konstantne vrijednosti S jednaka nuli.

Dokaz: po definiciji varijance

Kada se doda slučajnoj varijabli x neslučajna vrijednost S njegova disperzija se ne mijenja.

D[x+c] = D[x].

Dokaz: po definiciji varijance

(6.12)

3. Pri množenju slučajne varijable x neslučajnim iznosom S njegova se varijanca množi s od 2.

Dokaz: po definiciji varijance

. (6.13)

Za standardnu ​​devijaciju ovo svojstvo ima oblik:

(6.14)

Doista, za ½S½>1 vrijednost cX ima moguće vrijednosti (u apsolutnoj vrijednosti) veće od vrijednosti X. Posljedično, te su vrijednosti raspršene oko matematičkog očekivanja M[cX] veće od mogućih vrijednosti x oko M[x], tj. . Ako je 0<½с½<1, то .

Pravilo 3s. Za većinu vrijednosti slučajne varijable, apsolutna vrijednost njenog odstupanja od matematičkog očekivanja ne prelazi trostruku standardnu ​​devijaciju, ili, drugim riječima, gotovo sve vrijednosti SV su u intervalu:

[ m - 3s; m + 3 s; ].(6.15)

Vjerojatnost pada u zadani interval normalne slučajne varijable

Kao što je već utvrđeno, vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja pripada intervalu jednaka je određenom integralu gustoće distribucije, uzetom unutar odgovarajućih granica:
.
Za normalno raspodijeljenu slučajnu varijablu dobivamo:
.
Transformirajmo posljednji izraz uvođenjem nove varijable . Stoga se eksponent izraza ispod integrala transformira u:
.
Za zamjenu varijable u određenom integralu još je potrebno zamijeniti diferencijal i granice integracije, prethodno izrazivši varijablu iz formule zamjene:
;
;
– donja granica integracije;
– gornja granica integracije;
(da bismo pronašli granice integracije preko nove varijable, granice integracije preko stare varijable su zamijenjene u formulu za zamjenu varijable).
Zamijenimo sve u posljednju formulu kako bismo pronašli vjerojatnost:


Gdje – Laplaceova funkcija.
Zaključak: vjerojatnost da normalno raspodijeljena slučajna varijabla poprimi vrijednost koja pripada intervalu jednaka je:
,
gdje je matematičko očekivanje, a standardna devijacija dane slučajne varijable.

23. Hi-kvadrat, Studentova i Fisherova distribucija

Pomoću normalne distribucije definirane su tri distribucije koje se danas često koriste u statističkoj obradi podataka. Ove se distribucije pojavljuju mnogo puta u kasnijim dijelovima knjige.

Pearsonova distribucija (chi - kvadrat) – distribucija slučajne varijable

gdje su slučajne varijable X 1, X 2,…, X n nezavisni i imaju istu raspodjelu N(0,1). U ovom slučaju broj termina, tj. n, naziva se "broj stupnjeva slobode" distribucije hi-kvadrat.

Hi-kvadrat distribucija koristi se pri procjeni varijance (koristeći interval pouzdanosti), pri testiranju hipoteza slaganja, homogenosti, neovisnosti, prvenstveno za kvalitativne (kategorizirane) varijable koje poprimaju konačan broj vrijednosti, te u mnogim drugim zadacima statističkih podataka analiza.

Distribucija t Studentov t je distribucija slučajne varijable

gdje su slučajne varijable U I x neovisan, U ima standardnu ​​normalnu distribuciju N(0,1), i x– chi raspodjela – kvadrat c n stupnjevi slobode. pri čemu n naziva se “broj stupnjeva slobode” Studentove distribucije.

Studentovu distribuciju uveo je 1908. engleski statističar W. Gosset, koji je radio u tvornici piva. Za donošenje ekonomskih i tehničkih odluka u ovoj tvornici korištene su probabilističke i statističke metode, pa je njezino vodstvo zabranilo V. Gossetu objavljivanje znanstvenih članaka pod svojim imenom. Na taj su način zaštićene poslovne tajne i “know-how” u obliku probabilističkih i statističkih metoda koje je razvio V. Gosset. No, imao je priliku objavljivati ​​pod pseudonimom “Student”. Povijest Gosset-Studenta pokazuje da su i prije stotinu godina menadžeri u Velikoj Britaniji bili svjesni veće ekonomske učinkovitosti probabilističko-statističkih metoda.

Trenutno je Studentova distribucija jedna od najpoznatijih distribucija koja se koristi u analizi stvarnih podataka. Koristi se pri procjeni matematičkog očekivanja, vrijednosti prognoze i drugih karakteristika pomoću intervala pouzdanosti, testiranja hipoteza o vrijednostima matematičkih očekivanja, regresijskih koeficijenata, hipoteza o homogenosti uzorka itd. .