ФОРМИ ЗА СПЕЦИФИКАЦИЯ НА ЗАКОНА ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ЗА НЕПРЕКЪСНАТИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

ФОРМИ НА ЗАДАВАНЕ НА ЗАКОНА ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

1). Таблица за разпределение (ред) - най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретни случайни променливи.

Тъй като таблицата изброява всички възможни стойности на случайната променлива.

2). Разпределителен полигон . При графично изобразяване на серия на разпределение в правоъгълна координатна система, всички възможни стойности на случайна променлива се нанасят по абсцисната ос, а съответните вероятности се нанасят по ординатната ос. След това се чертаят точките и се свързват с прави отсечки. Получената фигура - многоъгълник на разпределение - също е форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива.

3). Разпределителна функция - вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка от дадено x, т.е.

.

От геометрична гледна точка може да се разглежда като вероятността за попадение в произволна точка хкъм част от числовата ос, разположена вляво от фиксирана точка Х.

2) ; ;

Задача 2.1.Случайна стойност х- броят на попаденията в целта с 3 изстрела (виж задача 1.5). Изградете серия на разпределение, полигон на разпределение, изчислете стойностите на функцията на разпределение и изградете нейната графика.

Решение:

1) Серия на разпределение на случайна променлива хпредставени в таблицата

При	,
При	,
При	,
При
при	.

Нанасяне на стойностите по абсцисната ос Х,и по ординатната ос - стойностите и като изберем определен мащаб, получаваме графика на функцията на разпределение (фиг. 2.2). Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива има скокове (прекъсвания) в тези точки, в които случайната променлива хприема конкретни стойности, посочени в таблицата за разпределение. Сумата от всички скокове във функцията на разпределение е равна на единица.

Ориз. 2.2 - Функция на разпределение на дискретна стойност

1). Разпределителна функция .

За непрекъсната случайна променлива графиката на функцията на разпределение (фиг. 2.3) има формата на гладка крива.

Свойства на функцията на разпределение:

в) ако .

Ориз. 2.3 - Функция на разпределение на непрекъсната стойност

2). Плътност на разпространение се определя като производна на функцията на разпределение, т.е.

.

Крива, изобразяваща плътността на разпределение на случайна променлива, Наречен крива на разпределение (фиг. 2.4).

Свойства на плътността:

и тези. плътността е неотрицателна функция;

б), т.е. ограничена площ крива на разпределение и оста x винаги е равна на 1.

Ако всички възможни стойности на случайна променлива хдиапазон от апреди b, тогава второто свойство на плътността ще приеме формата:

Ориз. 2.4 - Крива на разпределение

На практика често е необходимо да се знае вероятността една случайна променлива хще приеме стойност в някакъв диапазон, например от a до b. Необходимата вероятност за дискретна случайна променлива хопределена по формулата

тъй като вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула: .

Вероятност за попадение на непрекъсната случайна променлива хкъм интервала (a,b) също се определя от израза:

Задача 2.3.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете плътността, както и вероятността резултатът от теста да е случайна променлива хще приеме стойността, съдържаща се в интервала.

Решение:

2. Вероятност за попадение на случайна променлива хв интервала се определя по формулата. Като вземем и , намираме

Нека намерим функцията на разпределение на случайната променлива х, предмет на нормалния закон за разпределение:

Нека направим промяна в интеграла и го приведем във формата:

.

Интеграл не се изразява чрез елементарни функции, но може да се изчисли чрез специална функция, изразяваща определения интеграл на израза или . Нека изразим функцията чрез функцията на Лаплас Ф(х):

.

Вероятността случайна променлива X да попадне в областта (α, β) се изразява с формулата:

.

Използвайки последната формула, можете да оцените вероятността нормална случайна променлива да се отклони от своето математическо очакване с предварително определена произволно малка положителна стойност ε:

.

Нека , тогава и . При T=3 получаваме, т.е. случай, че отклонението на нормално разпределена случайна величина от математическото очакване ще бъде по-малко, е практически сигурно.

Това е правило три сигма: Ако една случайна променлива е нормално разпределена, тогава абсолютната стойност на отклонението на нейните стойности от математическото очакване не надвишава три пъти стандартното отклонение.

Задача.Нека диаметърът на частта, произведена от работилницата, е случайна променлива, разпределена нормално, m = 4,5 cm, cm Намерете вероятността диаметърът на произволно взета част да се различава от нейното математическо очакване с не повече от 1 mm.

Решение. Този проблем се характеризира със следните стойности на параметрите, които определят желаната вероятност: , , F(0.2)=0.0793,

Контролни въпроси

1. Какво разпределение на вероятностите се нарича равномерно?

2. Каква е формата на функцията на разпределение на случайна променлива, равномерно разпределена на интервала [ А; b]?

3. Как да се изчисли вероятността стойностите на равномерно разпределена случайна променлива да попадат в даден интервал?

4. Как се определя експоненциалното разпределение на случайна променлива?

5. Какъв вид има функцията на разпределение на случайна променлива, разпределена по експоненциалния закон?

6. Какво разпределение на вероятностите се нарича нормално?

7. Какви свойства има нормалната плътност на разпределение? Как параметрите на нормалното разпределение влияят на външния вид на графиката на плътността на нормалното разпределение?

8. Как да изчислим вероятността стойностите на нормално разпределена случайна променлива да попадат в даден интервал?

9. Как да се изчисли вероятността от отклонение на стойностите на нормално разпределена случайна променлива от нейното математическо очакване?

10. Формулирайте правилото на „трите сигми“?

11. Какви са математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива, разпределена по единен закон върху сегмента [ А; b]?

12. Какви са математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива, разпределена по експоненциален закон с параметър λ?

13. Какви са математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива, разпределена по нормален закон с параметри мИ ?

Тестови задачи

1. Случайна променлива хразпределени равномерно на интервала [−3, 5]. Намерете плътността на разпределението и функцията на разпределение х. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятностите и . Изчислете очакваната стойност, дисперсия и стандартно отклонение х.

2. Автобусите по линия № 21 се движат редовно на интервали от 10 минути. Пътник слиза на спирка в произволен момент. Разглеждане на случайна променлива х− време, през което пътникът чака автобус (в минути). Намерете плътността на разпределението и функцията на разпределение х. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността пътник да чака автобус не повече от пет минути. Намерете средното време за чакане на автобуса и дисперсията на времето за чакане на автобуса.

3. Установено е, че времето за ремонт на видеорекордер (в дни) е случайна величина х, разпределени по експоненциалния закон. Средното време за ремонт на видеорекордер е 10 дни. Намерете плътността на разпределението и функцията на разпределение х. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността ремонтът на видеорекордера да отнеме поне 11 дни.

4. Начертайте графики на плътност и функции на разпределение на случайна променлива х, разпределени по нормалния закон с параметри м= = − 2 и = 0,2.

Вероятност за попадане в даден интервал на нормална случайна променлива

Вече е известно, че ако случайна променлива X е дадена от плътността на разпределение f (x), тогава вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (a, b), е както следва:

Нека случайната променлива X е разпределена по нормалния закон. Тогава вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (a,b), е равна на

Нека трансформираме тази формула, така че да можете да използвате готови таблици. Нека въведем нова променлива z = (x--а)/--s. Следователно x = sz+a, dx = sdz. Нека намерим нови граници на интеграция. Ако x= a, тогава z=(a-a)/--s; ако x = b, тогава z = (b-a)/--s.

Така имаме

Използване на функцията на Лаплас

най-накрая ще го получим

Изчисляване на вероятността от случайно събитие

В партида от 14 части има 2 нестандартни части. 3 елемента бяха избрани на случаен принцип. Съставете закон за разпределение на случайната променлива X - броя на стандартните части сред избраните. Намерете числови характеристики, . Решението е очевидно...

Изследване на якостта на опън на калико ленти

Те казват...

Методи за оценка на неизвестни параметри на разпределението

Ако случайна променлива X е дадена чрез плътност на разпределение, тогава вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на интервала, е както следва: Нека случайната променлива X е нормално разпределена. Тогава вероятността X да приеме стойността...

Непрекъсната случайна променлива

Функцията на разпределение на вероятността F(x) на случайна променлива X в точка x е вероятността, че в резултат на експеримент случайната променлива ще приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

Непрекъснати случайни променливи. Закон за нормалното разпределение

Познавайки плътността на разпределението, можете да изчислите вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на даден интервал. Изчислението се основава на следната теорема. Теорема. Вероятността...

Крайно математическо очакване mx=5 Стандартно отклонение yx=3 Размер на извадката n=335 Вероятност за доверие r=0,95 Ниво на значимост Брой избрани стойности N=13 Моделиране на случайна променлива...

Моделиране на статични системи

Моделиране на статични системи

3. Оценка на статистическите характеристики на случаен процес се определят по раздели...

Моделиране на статични системи

Разпределение: f(x)=b(3-x), b>0 Граници на разпределение 1

Моделиране на статични системи

Какво е случайна променлива

теория на случайната променлива вероятност Правилата за разпределение на случайна променлива, обсъдени по-горе, са валидни само по отношение на дискретни количества, поради факта...

Елементи на теорията на вероятностите

Нека разгледаме един проблем, важен от гледна точка на практическото приложение. Нека има непрекъсната случайна променлива с плътност на разпределение. Интересуваме се от проблема за намиране на плътността на разпределение на величина, свързана с отношението:...

Ориз. 4. Плътност на нормалното разпределение.

Пример 6. Определянето на числените характеристики на случайна променлива чрез нейната плътност се разглежда с помощта на пример. Непрекъсната случайна променлива се дава чрез плътност

Определете вида на разпределението, намерете математическото очакване M(X) и дисперсията D(X).

Решение. Сравнявайки дадената плътност на разпределение с (1.16), можем да заключим, че е даден нормален закон на разпределение с m=4. Следователно математическото очакване

M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Стандартно отклонение σ =3.

Функцията на нормалното разпределение (1.17) е свързана с функцията на Лаплас, която има формата:

връзка: Φ (− x) = −Φ (x). (Функцията на Лаплас е странна). Стойностите на функциите f(x) и Ф(х) могат да бъдат изчислени с помощта на таблицата.

Нормалното разпределение на непрекъсната случайна променлива играе важна роля в теорията на вероятностите и при описанието на реалността; то е много разпространено в случайните природни явления. В практиката много често се сблъскваме със случайни величини, които се образуват именно в резултат на сумирането на много случайни членове. По-специално, анализът на грешките при измерване показва, че те са сбор от различни видове грешки. Практиката показва, че вероятностното разпределение на грешките при измерване е близко до нормалния закон.

С помощта на функцията на Лаплас можете да решите проблема с изчисляването на вероятността да попаднете в даден интервал и дадено отклонение на нормална случайна променлива.

3.4. Вероятност за попадане в даден интервал на нормална случайна променлива

Ако случайна променлива X е дадена чрез плътността на разпределение f(x), тогава вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на даден интервал, се изчислява с помощта на формула (1.9a). Замествайки във формула (1.9а) стойността на плътността на разпределение от (1.16) за нормалното разпределение N(a, σ) и извършвайки серия от трансформации, вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на даден интервал, ще бъде равна да се:

P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = Φ(x 2 σ − a )

където: a е математическото очакване.

−Φ(	x1 − a

Пример 7. Случайната величина X е разпределена по нормален закон. Математическо очакване a=60, стандартно отклонение σ =20. Намерете вероятността случайната променлива X да попадне в дадения интервал (30;90).

Решение. Желаната вероятност се изчислява по формула (1.18).

Получаваме: P(30< X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

Съгласно таблицата в Приложение 1: Ф(1,5) = 0,4332.. P(30< X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

Вероятността случайна променлива X да попадне в даден интервал (30; 90) е равна на: P(30< X < 90) = 0,8664.

3.5. Изчисляване на вероятността за дадено отклонение на нормална случайна променлива

Проблемите с изчисляването на вероятността за отклонение на нормална случайна променлива от дадена стойност са свързани с различни видове грешки (измерване, претегляне). Грешките от различни видове се означават с променливата ε.

Нека ε е отклонението на нормално разпределена случайна променлива X по абсолютна стойност. Необходимо е да се намери вероятността отклонението на случайна величина X от математическото очакване да не надвишава дадена стойност ε. Тази вероятност се записва като: P(|X–a| ≤ ε). Приема се, че във формула (1.18) отсечката [x1; x2 ] е симетрична по отношение на математическото очакване a. Така: a–х1 =ε; x2 –a =ε. Ако тези изрази се добавят, можем да запишем: x2 – x1 =2ε. Граници на интервала [x1; x2 ] ще изглежда така:

x1 =a –ε; x2 =a + ε.

Стойностите x1, x2 от (1.19) се заместват в дясната страна на (1.18), а изразът във фигурни скоби се пренаписва под формата на две неравенства:

1) x 1 ≤ X и заменете x1 в него съгласно (1.19), се оказва: a–ε ≤ X или a–X ≤ ε.

2) X ≤ x 2, по същия начин заменете x2, оказва се: X ≤ a+ε или X–a ≤ ε.

Пример 8. Измерва се диаметърът на част. Случайните грешки на измерване се приемат като случайна величина X и се подчиняват на нормалния закон с математическо очакване a=0, със стандартно отклонение σ=1 mm. Намерете вероятността измерването да бъде направено с грешка, която не надвишава 2 mm по абсолютна стойност.

Решение. Дадено е: ε =2, σ =1mm, a=0.

Съгласно формула (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

Вероятността измерването да бъде направено с грешка, която не надвишава 1 mm по абсолютна стойност, е:

P (|X| ≤ ε ) = 2 0,4772 = 0,9544.

Пример 9. Случайна величина, разпределена по нормален закон с параметри: a=50 и σ =15. Намерете вероятността отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване - a да бъде по-малко от 5, т.е. P(|X–a|<5).

Решение. Като вземем предвид (1.18), ще имаме: P(|X– a|< ε )=2Ф(ε /σ );

Дисперсия на нормална случайна променлива.

дисперсияслучайна променлива е математическото очакване на квадрата на съответната центрирана случайна променлива.

Характеризира степента на разсейване на стойностите на случайна променлива спрямо нейното математическо очакване, т.е. ширина на диапазона от стойности.

Формули за изчисление:

Дисперсията може да се изчисли чрез втория начален момент:

(6.10)

Дисперсията на случайна променлива характеризира степента на дисперсия (разсейване) на стойностите на случайна променлива спрямо нейното математическо очакване. Дисперсията на SV (както дискретна, така и непрекъсната) е неслучайна (постоянна) величина.

Дисперсията на SV има размерността на квадрата на случайната променлива. За по-голяма яснота дисперсионните характеристики се използват със стойност, чието измерение съвпада с измерението SV.

Стандартно отклонение (RMS) NE хнаречена характеристика

. (6.11)

RMSD се измерва в същите физически единици като SV и характеризира ширината на диапазона от стойности на SV.

Дисперсионни свойства

Дисперсия на постоянна стойност сравен на нула.

Доказателство: по дефиниция на дисперсията

Когато се добави към случайна променлива хнеслучайна стойност сдисперсията му не се променя.

д[х+° С] = д[х].

Доказателство: по дефиниция на дисперсията

(6.12)

3. При умножение на случайна величина хс неслучайна сума снеговата дисперсия се умножава по от 2.

Доказателство: по дефиниция на дисперсията

. (6.13)

За стандартното отклонение това свойство има формата:

(6.14)

Наистина, за ½С½>1 стойността cX има възможни стойности (по абсолютна стойност), по-големи от стойността X. Следователно тези стойности са разпръснати около математическото очакване М[cX] по-големи от възможните стойности хнаоколо М[х], т.е. . Ако 0<½с½<1, то .

Правило 3s.За повечето стойности на случайна променлива абсолютната стойност на нейното отклонение от математическото очакване не надвишава тройното стандартно отклонение, или, с други думи, почти всички стойности на SV са в интервала:

[ м - 3с; м + 3 с; ].(6.15)

Вероятност за попадане в даден интервал на нормална случайна променлива

Както вече беше установено, вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на интервала, е равна на определен интеграл от плътността на разпределение, взет в съответните граници:
.
За нормално разпределена случайна променлива съответно получаваме:
.
Нека трансформираме последния израз, като въведем нова променлива . Следователно показателят на израза под интеграла се трансформира в:
.
За да замените променлива в определен интеграл, все още е необходимо да замените диференциала и границите на интегриране, като предварително сте изразили променливата от формулата за заместване:
;
;
– долна граница на интеграция;
– горна граница на интеграция;
(за да се намерят границите на интегриране върху новата променлива, границите на интегриране върху старата променлива бяха заменени във формулата за заместване на променливата).
Нека заместим всичко в последната от формулите, за да намерим вероятността:


Където – Функция на Лаплас.
Заключение: вероятността случайна променлива с нормално разпределение да приеме стойност, принадлежаща на интервала, е равна на:
,
където е математическото очакване и е стандартното отклонение на дадена случайна променлива.

23. Хи-квадрат, разпределения на Стюдънт и Фишер

С помощта на нормалното разпределение се дефинират три разпределения, които сега често се използват в статистическата обработка на данни. Тези разпределения се появяват много пъти в следващите раздели на книгата.

Разпределение на Пиърсън (хи - квадрат) – разпределение на случайна променлива

къде са случайните променливи X 1, X 2,…, X nнезависими и имат еднакво разпределение н(0,1). В този случай броят на термините, т.е. н, се нарича „брой степени на свобода“ на разпределението хи-квадрат.

Разпределението хи-квадрат се използва, когато се оценява дисперсията (с помощта на доверителен интервал), когато се тестват хипотези за съгласие, хомогенност, независимост, предимно за качествени (категоризирани) променливи, които приемат краен брой стойности, и в много други задачи със статистически данни анализ.

Разпределение T t на Стюдънт е разпределението на случайна променлива

къде са случайните променливи UИ хнезависим, Uима стандартно нормално разпределение н(0,1) и х– чи разпределение – квадрат c нстепени на свобода. При което нсе нарича „брой степени на свобода“ на разпределението на Стюдънт.

Студентското разпределение е въведено през 1908 г. от английския статистик У. Госет, който е работил във фабрика за бира. В тази фабрика са използвани вероятностни и статистически методи за вземане на икономически и технически решения, така че нейното ръководство забранява на В. Госет да публикува научни статии под собственото си име. По този начин бяха защитени търговски тайни и „ноу-хау“ под формата на вероятностни и статистически методи, разработени от V. Gosset. Той обаче имаше възможност да публикува под псевдонима „Студент“. Историята на Gosset-Student показва, че дори преди сто години мениджърите във Великобритания са били наясно с по-голямата икономическа ефективност на вероятностно-статистическите методи.

В момента разпределението на Student е едно от най-известните разпределения, използвани при анализа на реални данни. Използва се при оценка на математическото очакване, прогнозната стойност и други характеристики с помощта на доверителни интервали, тестване на хипотези за стойностите на математическите очаквания, регресионни коефициенти, хипотези за хомогенност на извадката и др. .