كيفية العثور على إحداثيات نقاط التقاطع مع المحاور. إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية الوظيفية. حالة وظيفتين غير الخطية
من الناحية العملية وفي الكتب المدرسية، الطرق الأكثر شيوعًا المذكورة أدناه هي العثور على نقطة التقاطع بين الرسوم البيانية الوظيفية المختلفة.
الطريقة الأولىالأول والأبسط هو الاستفادة من حقيقة أن الإحداثيات في هذه المرحلة ستكون متساوية وتساوي الرسوم البيانية، ومن ما تحصل عليه يمكنك العثور على $x$. ثم استبدل $x$ الموجود في أي من المعادلتين وأوجد إحداثيات اللعبة.
مثال 1
لنجد نقطة تقاطع الخطين $y=5x + 3$ و$y=x-2$، معادلة الدوال:
$x=-\frac(1)(2)$
الآن دعونا نستبدل x التي تلقيناها في أي رسم بياني، على سبيل المثال، اختر الرسم الأبسط - $y=x-2$:
$y=-\frac(1)(2) – 2 = - 2\frac12$.
ستكون نقطة التقاطع $(-\frac(1)(2);- 2\frac12)$.
الطريقة الثانيةالطريقة الثانية هي أن يتم تجميع النظام من المعادلات الموجودة، عن طريق التحويلات يتم توضيح أحد الإحداثيات، أي يتم التعبير عنه من خلال الآخر. بعد هذا التعبير في النموذج المحدد يتم استبداله بآخر.
مثال 2
اكتشف عند أي نقطة يتقاطع الرسمان البيانيان للقطع المكافئ $y=2x^2-2x-1$ والخط المستقيم $y=x+1$.
حل:
لنقم بإنشاء نظام:
$\begin(cases) y=2x^2-2x-1 \\ y= x + 1 \\ \end(cases)$
المعادلة الثانية أبسط من الأولى، لذلك دعونا نستبدلها بـ $y$:
$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;
$2x^2 – 3x – 2 = 0$.
لنحسب ما يساوي x، وللقيام بذلك سنجد الجذور التي تجعل المساواة صحيحة، ونكتب الإجابات التي نحصل عليها:
$x_1=2; x_2 = -\frac(1)(2)$
لنعوض بنتائجنا على طول المحور السيني واحدًا تلو الآخر في المعادلة الثانية للنظام:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 - \frac(1)(2) = \frac(1)(2)$.
ستكون نقاط التقاطع $(2;3)$ و$(-\frac(1)(2); \frac(1)(2))$.
الطريق الثالثدعنا ننتقل إلى الطريقة الثالثة - الرسومية، ولكن ضع في اعتبارك أن النتيجة التي تقدمها ليست دقيقة تمامًا.
لتطبيق هذه الطريقة، يتم رسم كلا الرسوم البيانية الوظيفية على نفس المقياس على نفس الرسم، ثم يتم إجراء بحث مرئي عن نقطة التقاطع.
هذه الطريقة جيدة فقط إذا كانت النتيجة التقريبية كافية، وكذلك إذا لم تكن هناك بيانات عن أنماط التبعيات قيد النظر.
خذ بعين الاعتبار وظيفتين خطيتين $ f(x) = k_1 x+m_1 $ و $ g(x) = k_2 x + m_2 $. تسمى هذه الوظائف مباشرة. من السهل جدًا إنشاءها؛ ستحتاج إلى أخذ أي قيمتين $ x_1 $ و$ x_2 $ والعثور على $ f(x_1) $ و$ (x_2) $. ثم كرر الأمر نفسه مع الدالة $ g(x) $. بعد ذلك، ابحث بصريًا عن إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة.
يجب أن تعلم أن الدوال الخطية لها نقطة تقاطع واحدة فقط وفقط عند $ k_1 \neq k_2 $. بخلاف ذلك، في حالة $ k_1=k_2 $، تكون الوظائف متوازية مع بعضها البعض، نظرًا لأن $ k $ هو معامل الميل. إذا كان $ k_1 \neq k_2 $ ولكن $ m_1=m_2 $، فإن نقطة التقاطع ستكون $ M(0;m) $. يُنصح بتذكر هذه القاعدة لحل المشكلات بسرعة.
| مثال 1 |
| دع $ f(x) = 2x-5 $ و $ g(x)=x+3 $ يُعطى. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة. |
| حل |
|
كيف افعلها؟ بما أنه تم تقديم دالتين خطيتين، فإن أول شيء ننظر إليه هو معامل الميل لكلتا الدالتين $ k_1 = 2 $ و $ k_2 = 1 $. نلاحظ أن $ k_1 \neq k_2 $، إذن هناك نقطة تقاطع واحدة. لنجدها باستخدام المعادلة $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ ننقل الحدود ذات $ x $ إلى الجانب الأيسر، والباقي إلى اليمين: $$ 2س - س = 3+5 $$ لقد حصلنا على $ x=8 $ حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية، والآن دعونا نوجد الإحداثي. للقيام بذلك، دعونا نعوض بـ $ x = 8 $ في أي من المعادلات، إما بـ $ f(x) $ أو بـ $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ لذلك، $ M (8;11) $ هي نقطة تقاطع الرسوم البيانية لوظيفتين خطيتين. إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب! |
| إجابة |
| $$ م (8;11) $$ |
| مثال 3 |
| ابحث عن إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة: $ f(x)=x^2-2x+1 $ و $ g(x)=x^2+1 $ |
| حل |
|
ماذا عن وظيفتين غير خطيتين؟ الخوارزمية بسيطة: نقوم بمساواة المعادلات مع بعضها البعض وإيجاد الجذور: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ نقوم بتوزيع الحدود مع وبدون $ x $ على أطراف مختلفة من المعادلة: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ تم العثور على حدود النقطة المطلوبة، ولكنها ليست كافية. الإحداثي $y$ لا يزال مفقودًا. نعوض بـ $ x = 0 $ في أي من معادلتي حالة المشكلة. على سبيل المثال: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف |
| إجابة |
| $$ م (0;1) $$ |
في يوليو 2020، أطلقت ناسا رحلة استكشافية إلى المريخ. ستقوم المركبة الفضائية بتسليم المريخ وسيلة إلكترونية تحمل أسماء جميع المشاركين المسجلين في البعثة.
إذا حل هذا المنشور مشكلتك أو أعجبك للتو، شارك الرابط الخاص به مع أصدقائك على الشبكات الاجتماعية.
يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية لصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.
أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.
ليلة رأس السنة أخرى.. طقس بارد وندف ثلج على زجاج النافذة.. كل هذا دفعني للكتابة مرة أخرى عن... الفركتلات، وما يعرفه ولفرام ألفا عنها. هناك مقال مثير للاهتمام حول هذا الموضوع، والذي يحتوي على أمثلة للهياكل الكسورية ثنائية الأبعاد. سننظر هنا إلى أمثلة أكثر تعقيدًا للفركتلات ثلاثية الأبعاد.
يمكن تمثيل (وصف) الفراكتل بصريًا كشكل هندسي أو جسم (بمعنى أن كلاهما عبارة عن مجموعة، في هذه الحالة، مجموعة من النقاط)، وتفاصيلها لها نفس شكل الشكل الأصلي نفسه. أي أن هذا هيكل مشابه ذاتيًا، حيث نفحص تفاصيله عند تكبيرها سنرى نفس الشكل بدون تكبير. بينما في حالة الشكل الهندسي العادي (وليس الفراكتل)، فعند التكبير سنرى تفاصيل لها شكل أبسط من الشكل الأصلي نفسه. على سبيل المثال، عند التكبير العالي بدرجة كافية، يبدو جزء من الشكل الناقص وكأنه قطعة خط مستقيم. هذا لا يحدث مع الفركتلات: مع أي زيادة فيها، سنرى مرة أخرى نفس الشكل المعقد، والذي سيتكرر مرارًا وتكرارًا مع كل زيادة.
كتب بينوا ماندلبرو، مؤسس علم الفركتلات، في مقالته الفركتلات والفن باسم العلم: “الفركتلات هي أشكال هندسية معقدة في تفاصيلها كما في شكلها العام، أي إذا كانت جزءًا من الفركتل سيتم تكبيره إلى حجم الكل، وسيظهر ككل، إما تمامًا، أو ربما مع تشوه طفيف.